Statica: teoria ed esercizi

STATICA

parte della meccanica che studia l'equilibrio dei corpi.

FORZE

sollecitazioni in grado di alterare lo stato di quiete o di moto o di indurre delle deformazioni nei corpi.

• intensità della forza si determina tramite la deformazione prodotta su un corpo

FORZA PESO

P [Kilogrammo forza. Kg f]

• sollecitazione che fa cadere i corpi verso il basso.
• Il peso agisce indipendente dallo stato di quiete o di moto del corpo.
• Agisce lungo la verticale ed è sempre diretto verso il basso.

DINAMOMETRO

• Strumento graduato contenente una molla (ideale, elastica), deformabile e graduata che permette di valutare gli allungamenti.

• Calibrazione/Taratura del dinamometro tramite peso - campione:

peso - campione

• Come funziona il dinamometro?
• Il dinamometro misura una forza F_ett esterna generando una forza F_din tale che F_ett = F_din → F_din = K Δl (Legge di Hooke) (Legge di tipo elastico)
• Forza elastica

Modello del FILO INESTENSIBILE

• Filo ideale, senza massa, in grado di trasportare una forza (TENSIONE) senza allungarsi.

STATICA

- parte della meccanica che studia l'equilibrio dei corpi.

FORZE:

sollecitazioni in grado di alterare lo stato di quiete

o di moto o di indurre delle deformazioni nei corpi.

intensità della forza si determina tramite la deformazione

prodotta su un corpo

FORZA PESO

- P [Kilogrammo forza. Kgf]

sollecitazione che fa cadere i corpi verso il basso.

peso agisce indipendente dallo stato di quiete o di moto

dei corpi.

Agisce lungo la verticale ed è sempre diretto verso il basso.

DINAMOMETRO

• Strumento graduato contenente una molla ideale, elastica,
• deformabile e graduata che permette di valutare gli
• allungamenti.

Calibrazione/Taratura del dinamometro tramite peso campione:

peso-campione

Come funziona il dinamometro?

Il dinamometro misura una forza F_ett esterna generando una

forza F_din tale che F_din = K · Δl (legge di Hooke)

(legge di tipo elastico)

Forza elastica

Modello del FILO INESTENSIBILE

- Filo ideale senza massa in grado di trasportare una forza

(TENSIONE) senza allungarsi.

QUIETE, EQUILIBRIO e STATICA

• QUIETE: un punto o un corpo è in quiete in un dato S.O.R. se il punto ha una velocità nulla; in ogni istante di tempo è e rimane fermo → assenza di velocità.
• EQUILIBRIO: è un sistema (insieme di punti e di corpi) inizialmente in quiete in un dato S.O.R. pur soggetto a forze rimane in quiete; allora esso si trova in uno stato di equilibrio.

INSTABILE: piccole variazioni nel sistema portano a grandi spostamenti.

STABILE: piccole variazioni nel sistema portano a piccoli spostamenti attorno alla posizione di equilibrio.

STATICA del PUNTO MATERIALE

→ _R = _F1 + _F2 + _F3 + _F4

• il punto è in QUIETE se: _R = _F1 + _F2 + _F3 + _F4 = ∅

STATICA del CORPO ESTESO

→ _R = _F1 + _F2 + _F3 + _F4 + _F5 = ∅

_Mi = _ri x _Fi

_MN = _rN x _FN

• il corpo è in QUIETE quando:
• _Ri = ∑ _Fi = 0
• _Mo = ∑ _Mi = ∅

PRINCIPIO della STATICA

REGOLE della STATICA

• REGOLA 1: sostituendo a due forze applicate in uno stesso punto materiale la loro somma vettoriale applicata nel medesimo punto e viceversa, non si altera l’equilibrio del punto materiale né del corpo di cui esso può far parte.

• REGOLA 2: spostando una forza lungo la sua retta di applicazione non si altera l’equilibrio del corpo rigido su cui la forza agisce.

STUDIO STATICO delle FORZE

• Applicate ad un corpo una forza tramite il dinamometro adattando verso, direzione e modulo fino a raggiungere l’equilibrio.

  ↩𝐱_din + 𝐱_Q → ↩ → = 0

  • ↩^* = ↩_din

  Ad ogni punto materiale posto in prossimità delle superfici terrestri rimane applicata una forza diretta lungo la verticale verso il basso, con intensità dipendente dal corpo materiale.

REAZIONE VINCOLARE

• 𝐻₊ + 𝐿_Q ⇒ ↩→ = ↩→ + 𝐻_v

  • 𝐻_v = -𝐻_*

  𝐻_v normale alla superficie vincolante e di modulo dipendente dalle forze applicate 𝐻_*

  Forza esercitata dal vincolo

VINCOLO

I vincoli impediscono il movimento dei corpi, esercitando su di essi delle forze, dette forze vincolari o reazioni vincolari.

• VINCILI DI VOLUME f(x(t), y(t), z(t)) > 0 es. moto nella stanza (non sotto il pavimento) z(t)>0
• VINCI DI SUPERFICIE f(x(t), y(t), z(t)) = 0 es. moto sul pavimento z(t)=0
• VINCOLI LINEARI f(x(t); y(t), z(t)) = 0, g(x(t), y(t), z(t)) = 0 es. moto sul binario z(t)=0, y(t)=0 moto circolare z(t)=0, x^2 + y^2 = R^2

FORZA DI ATTRITO STATICO

FORZE di ATTRITO si oppongono al movimento tra le due superfici.

P̄ + R̄ = EQ ⇒ R̄ = P̄ + R̄_v + R̄_T

Pt - Rt = 0       Rt - Pt Rv - Pm = 0       Rv = Pm

RT: tg alle superfici verso tale da bilanciare le forze im già di modulo dipendente dalla forza applicata F

RT ⇒ μ_sF   μ_s: coeff di attrito statico

F: la forza esercitata dal corpo sul vincolo con la quale la reazione vincolare agisce

RT: forza di contatto con la sua superficie quando è a contatto con le due superfici

FORZA DI ATTRITO DINAMICO

si manifesta quando un corpo scivola su una superficie => il corpo è già in movimento P̄ + F̄_din + EQ ⇒ R̄: P̄ + F̄_din + R̄_v + ... ? ... O

La superficie del vincolo esercita una forza tangente RT sul corpo materiale anche in condizioni di moto relativo tra le superfici del corpo e dei vincolo V.

RT = μ_dF_N μ_d: coeff di attrito dinamico

v_r: versore velocità

VINCOLI IDEALI O LISC

• Vincoli che non offrono resistenza apprezzabile quando le forze tendono a produrre degli spostamenti tangenziali rispetto alle loro superfici.
• Reagiscono solo con una forza ⊥ alla superficie.

FORZE INERZIALI

ci sono altre forze che non sono dovute né alle caratteristiche dei corpi né al contatto ma si originano ogni qual volta il sistema accelera.

• In un dato SDR si origina forza inerziali ogni volta questo riferimento accelera rispetto al complesso dei corpi materiali che si trovano nell'intero universo → PRINCIPIO di MACH.

SDR INERZIALE con assi diretti vs le "stelle fisse"

• SDR NON INERZIALE: SDR in cui un corpo soggetto ad una risultante di forze nulla si muove comunque di moto non uniforme (accelerato).
• SDR INERZIALE: SDR in cui vale il 1° principio della dinamica. È un sistema che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a un altro sistema (R costante).

Le FORZE INERZIALI non sono dovute a nessun agente e valgono soltanto nei SDR non inerziali.

• TRENO →TrenoA - osservatore dentro treno → vede R fermoR - biglie, fermaB - osservatore a Terra → vede R muoversi di moto uniforme con treno → v=trenoA) vedi che la biglia possiede accelerazione, la biglia inizia a muoversi.mia ⊥ non c'è nessuna forza est. che causa l'acceleraz → FORZA FITTIZIAB) osserva che la biglia continua a muoversi con velocità di treno

Piano Inclinato

|P_t| = P . sin α|P_m| = P . cos α

R_v + P + F_din = 0

R_v + P_m + P_t + F_din = R_v + P_m = ∅

R_v + P_m = 0 ⟶ la reazione vincolare dipende dallaforza perpendicolare alla superficie

R_v = - P_m

Il piano inclinato riduce l'effetto della forza peso

ESERCIZIO

Trovare le condizioni di equilibrio del seguente sistema meccanico.

_{̅1 = -₁̂}     ̅₂ = -₂̂

. . :   ̅ = ∑̅ᵢ = ∅   ̅ = ∑̅ᵢ = ∑̅ᵢ×̅ᵢ = ∅

̅ = ̅₁ + ̅₂ + ̅ = ̅   →   ̅ = -̅₁ -̅₂ = (₁+₂)̂

Momenti rispetto al polo F:

̅ = ̅ × ̅ = ̅

̅₁ =̅₁ × ̅₁ = -₁̂ × (-₁̂) = ₁₁̂

̅₂ =̅₂ × ̅₂ = -₂̂ × (-₂̂) = -₂₂̂

̅ =  ⁼¹ ∑ = (₁₁ - ₂₂)̂ = ̅

 →  ̅ = ̅   →   ₁₁ = ₂₂   ₁ = _₂ ^₁ ₂

Esercizio 2

Acrobata fermo in mezzeria (l fune = 18 m), esercita forza di 70 kgf e fa abbassare la fune di 1,5 m.

Determinare la tensione T della fune.

T₁⃗ + T₂⃗ + P⃗ = 0⃗

• −P + T₁ sen α + T₂ sen α = 0

• T₁ cos α − T₂ cos α = 0 → T₁ = T₂

• −P + 2T sen α = 0 → T = ^P/_{2 sen α}

α = arc tg ^{(1,5 m)}/_{(9 m)} = 9°46'

T₁ = T₂ = ^P/_{2 sen α} = ⁷⁰/_{2·sen (9°46')} = 212,95 Kg-f

ESERCIZIO 3

p = 4Kg ▪ f

α₁ = 30°

α₂ = 60°

Determinare reazioni vincolari delle superfici

{ R₁ - P · cos α₁ = 0

R₂ - P · cos α₂ = 0 }

R₁ = P · cos α₁ = P · cos 30°

R₂ = P · cos α₂ = P · sen 60° = P · sin 30°

ESERCIZIO

CASO 1

P = 100 N

F = 10 N

μ_s = 0,20

μ_d = 0,15

• Calcolare INTENSITÀ della FORZA di ATTRITO.
• Forza di attrito STATICO o DINAMICO?

F_{att max} = |Rv|  / μ_s = 0,20 · 100 N = 20 N

F < F_{att max}        10 < 20 N        quindi ho FORZA di ATTRITO STATICO

Siccome il tavolo è fermo allora:       Σ = F + F_att = ϕ

F_att = - F                                        F_att = 10 N

CASO 2

P = 100 N

F = 30 N

μ_s = 0,20

μ_d = 0,15

• Calcolare l'intensità della FORZA di ATTRITO.

F_{att s}^max = μ_s · Rv = 0,20 · 100 = 20 N

F > F_{att s}^max        30 > 20        ATTRITO DINAMICO

F_att = μ_d · Rv = 0,15 · 100 = 15 N

ESERCIZIO

P = 1000 N

Determinare:

• F necessaria per stabilizzare il sistema
• Reazione vincolare totale del soffitto

a) CARUCOLA 1

CARUCOLA 2

CARUCOLA 3

Riassumendo:

F = 1000 / 3 = 333 N

R_V = T₅ = (4/3) * 1000 = 1333 N

F = 333 N

R_V = 1333 N