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Appunti di Macchine ed azionamenti elettrici [MAE]

Di seguito potete trovare l'anteprima della mia dispensa di Macchine ed Azionamenti Elettrici (lezioni sostenute dalla Prof. Salvatore nel corso 2017/2018) di circa 130 pagine completamente riorganizzato, ampliato, commentato e riscritto interamente a macchina da me. Il testo è anche interattivo e quindi potrete navigare velocemente tra le varie sezioni e i vari diagrammi.

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Esame di Macchine ed azionamenti elettrici docente Prof. N. Salvatore

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ESTRATTO DOCUMENTO

Figura 5.2: Andamento della risposta con compensazione in avanti

G kΦ

R

2 a

H = = (1 + τ s)

a

2 2

G K K Φ K

1 A A

Data l’entità però della variazione, tale fenomeno viene completamente trascurato e si pone

la funzione di trasferimento costante.

Nella figura 5.2 è possibile notare la segnalazione di un errore minimo. Infatti anche se in

simulazione pura (in ) l’errore è nullo, nella realtà i parametri k, Φ ed R non sono

Simulink a

noti perfettamente (vengono forniti dal costruttore come costanti) e possono subire minime

variazioni durante il funzionamento della macchina, per esempio a causa dell’effetto di un

incremento di temperatura. Tale scostamento provoca cosı̀ un piccolo errore a regime, che è

comunque di entità trascurabile.

Un’ultima considerazione può essere fatta riguardo la nuova caratteristica del motore.

Per mantenere la velocità angolare a regime pari a quella a vuoto, viene incrementata la

tensione di alimentazione d’armatura provocando la traslazione dell’intera caratteristica

parallelamente a se stessa. È necessario quindi porre attenzione nei confronti delle tensioni

nominali definite dal costruttore, per non incorrere, a seguito del superamento delle stesse, in

gravi danni al motore.

5.2 Feedback e controllore proporzionale P

Un altro metodo per ridurre l’errore a regime consiste nell’utilizzare la tecnica della

retroazione tramite una dinamo tachimetrica di costante K ed un controllore proporzionale

T

con costante k (figura 5.3).

p 53

Figura 5.3: Feedback e proporzionale

Modifichiamo il diagramma a blocchi per rendere la retroazione unitaria : si dividono

tutti gli ingressi al nodo sommatore per K , mentre le uscite vengono invece moltiplicate per

T

K . Aggreghiamo insieme quindi tutti i blocchi che consentono il controllo :

T Si occupa della misurazione della velocità angolare effettiva di uscita (è un

• K T

trasduttore di velocità)

Si occupa di correggere la tensione di regolazione proporzionalmente alla differenza

• k p

tra velocità attuale e quella obiettivo (è un controllore proporzionale)

Si occupa di amplificare la tensione di regolazione generando una corrispondente

• K A

tensione di alimentazione (è un raddrizzatore controllato).

Otteniemo cosı̀ il diagramma di figura 5.4 :

Figura 5.4: Feedback unitario e proporzionale

È possibile ora notare che l’ingresso controllato non è più in tensione v (s), ma in velocità

r

angolare, possiamo quindi ragionare direttamente in termini di ω (s) richiesta. Effettuiamo

ora lo studio delle risposte separatamente, per poi effettuare la sovrapposizione degli effetti :

• C (s) = 0

r ′

k ′

k k K K

ω(s) p T A

2

τ τ s +τ s+1 ′

′ = dove k =

=

G = m a m

0 k ′ 2

∗ ′

ω (s) τ τ s + τ s + 1 + k kΦ

1 + m a m

2

τ τ s +τ s+1

m a m 54

A regime per il teorema del valore finale si ha : ∗ ′

′ ω k

k ∗ ∗

ω < ω

=

ω(∞) = lim sω(s) = lim s 2 ′ ′

τ τ s + τ s + 1 + k s 1 + k

s→0 s→0 m a m

Dunque anche in assenza del disturbo C (s), si ha che l’errore di posizione a regime è

r ∗

non nullo (il motore non ha sufficiente tensione per raggiungere ω ) e questo perchè

G non è una funzione di tipo 1 (non ha polo nell’origine). Per annullare l’errore

la 0

occorre inserire un blocco insieme al segnale d’ingresso, che contenga la funzione di

trasferimento : ′ ′

k 1 + k

∗ ∗

(F T · ω ) = ω → F T =

ω(∞) = ′ ′

1 + k k

Tale operazione permette di agire d’astuzia, fornendo un boost di tensione che per-

Figura 5.5: Feedback unitario e blocco supplementare

mette di assegnare un valore di riferimento più elevato, in maniera tale da raggiungere

comunque la velocità angolare obiettivo anche in presenza dell’errore dovuto al control-

2

lore proporzionale che riduce notevolmente la tensione di alimentazione (figura 5.6) .

Effettuando nuovamente il limite si osserva che in questo caso:

′ k

1 + k ∗ ∗

ω = ω

ω(∞) = lim sω(s) = ′ ′

k 1 + k

s→0

In questo modo il controllo in retroazione non introduce alcun errore a regime (in realtà

la non perfetta conoscenza di k ne introduce uno trascurabile a regime).

• ω (s) = 0 1+τ s

R a

a R 1 + τ s

ω(s) a a

2 2 2

k Φ τ τ s +τ s+1

′′ =

=

G = m a m

0 2 2 2 2 2

R 1+τ s k Φ k ′ ′

−C (s) k Φ τ τ s + τ s + 1 + k

1+ a a

r m a m

2 2 2

k Φ τ τ s +τ s+1 R 1+τ s

m a m a a

3 A regime si ricava che : 1 + τ s C 1

R

R a r a

a = −

ω(∞) = lim sω(s) = lim −s 2 2 2 2 2

′ ′

k Φ τ τ s + τ s + 1 + k s k Φ 1 + k

s→0 s→0 m a m ′

Come si può notare l’errore a regime può essere ridotto grazie al fattore k . Questo

non vuol dire però che l’errore può essere completamente annullato, perchè non si può

aumentare k (e in particolare k ) oltre certi limiti.

p

2 Ovviamente la G cambia e dovrà essere ricalcolata

0

3 ′′

Per ricavare G è stato effettuato lo spostamento del nodo sommatore e applicata la regola della

0

retroazione positiva nello schema di figura 5.5 55

Pertanto ora applicando il P SE otteniamo la risposta del modello completo rappresentato in

figura 5.6, ricordandosi di ricavare la nuova G con il blocco supplementare:

0 R 1 + τ s

a

a

′ ′′ ′ ∗

ω(s) = ω (s) + ω (s) = G ω (s) − C (s)

r

0 2 2 2 ′

k Φ τ τ s + τ s + 1 + k

m a m

Figura 5.6: Andamento della risposta con compensazione in avanti

5.3 Feedback e controllore proporzionale integrale P I

Un ulteriore tipo di controllo che permette di rimettere un polo nell’origine (che è per

definizione la prova che il motore sarà perfetto a regime) è il controllo P I che ha la seguente

funzione di trasferimento : k 1

s + s +

i

k k

i τ

p

= k = k

G = k + i

p p

c p s s s

1 + τ s k

i p

G = k con τ =

c p i

τ s k

i i

dove τ è la costante di tempo integrale. Il diagramma a blocco è quello in figura 5.7.

i

Rendiamo adesso la retroazione unitaria ottenendo il modello di figura 5.21.

Per semplicità possiamo porre:

K K 1 + τ s

1 R

T A a

a

G (s) = G (s) =

1 2

2 2 2 2

kΦ τ τ s + τ s + 1 k Φ τ τ s + τ s + 1

m a m m a m

Analizziamo ora le risposte del modello ai singoli ingressi.

• C (s) = 0

r G G

c 1

G =

0 1 + G G

c 1

56

Figura 5.7: Feedback e proporzionale integrale

Figura 5.8: Feedback unitario e proporzionale integrale

Figura 5.9: Schema semplificato ∗

G G ω

c 1

′ ′ ∗

ω (∞) = lim sω (s) = lim s = ω

1 + G G s

s→0 s→0 c 1

Pertanto in tal caso a regime risulta che non si ha un errore di posizione. Il regolatore

P I ha introdotto cosı̀ un polo nell’origine della funzione di trasferimento ad anello

aperto. 57

• ω (s) = 0 G 2

′′

G =

0 1 + G G

c 1 C

G r

2

′′ ′′ =0

ω (∞) = lim sω (s) = lim −s 1 + G G s

s→0 s→0 c 1

Quindi risulta che la risposta al gradino di coppia resistente è nulla. Introducendo un

regolatore P I a monte del disturbo C (s) si ha che l’errore a regime è nullo.

r

Sarebbe bastato un integratore per introdurre un polo nell’origine ed annullare l’errore a

regime, ma usando un P I si può anche modificare la dinamica del sistema. Ciò è essenziale,

poichè, come si vedrà in seguito nel paragrafo 5.4, il sistema agisce come sovrasmorzato,

P I permette a tal proposito di

e pertanto presenta una risposta molto lenta. Il controllo

ottenere, attraverso la sua taratura, una dinamica molto più pronta come sarà spiegato più

avanti. La risposta del modello è quella riportata in figura 5.10:

Figura 5.10: Risposta del modello con P I

5.4 Analisi dinamica del motore

Consideriamo, come al solito, il diagramma di figura 4.11, ed analizziamo in dettaglio la

dinamica di questo modello.

1 1

1 1 kΦ ∗

ω(s) = v (s) = K ω (s)

a A

2 2

kΦ τ τ s + τ s + 1 kΦ τ τ s + τ s + 1 K

m a m m a m A

1

1 τ τ

= = a m 1

1

2 2

τ τ s + τ s + 1 s +

s +

m a m τ τ τ

a a m

Pertanto la funzione di trasferimento in forma canonica è: r

2 τ

ω(s) ω 1 1

m

n 2

= con δ = = ω =

n

2 2

ω (s) s + 2δω s + ω 2ω τ 4τ τ τ

n n a a a m

n

dove δ è il coefficiente di smorzamento dei poli, e ω è la pulsazione naturale dei poli. Le

n

radici del polinomio possono essere: 58

• 0 < δ < 1 → p = −δω ± jω

n d

1/2 √ 2

Poli complessi coniugati con parte reale negativa e ω = ω 1 − δ la pulsazione

d n

smorzata dei poli

• δ = 1 → p = −ω

n

1/2

Poli reali coincidenti e negativi

√ 2

• δ > 1 → p = −δω ± ω δ − 1

n n

1/2

Poli reali distinti e negativi

Figura 5.11: Piano di Gauss dei poli

Osservando la figura 5.11 è possibile definire due grandezze caratteristiche:

ω

p d

−1

2 2

(−δω ) + (ω ) , ϕ = arctan

ω =| p |= n d

n 1/2 δω n

Dato che il coefficiente di smorzamento dei poli è δ e che risulta τ ≫ τ , allora la risposta

m a

del modello del motore risulta sovrasmorzata δ > 1 (figura 5.12).

La risposta sovrasmorzata è una risposta lenta, allora, per mezzo del sistema di controllo

in retroazione e della presenza del PI, opportunamente progettato, cambieremo la dinamica

per ottenere una risposta sottosmorzata (0 < δ < 1) con un δ non troppo basso al fine di

contenere la sovraelongazione percentuale. Sostanzialmente ricercheremo un valore di δ che

ci permetta di avere una risposta del motore pronta, a fronte di un modesto: si

overshoot

osserverà che il miglior valore risulterà essere pari a δ = 0.707 (risposta sottosmorzata).

I parametri più importanti che descrivono la risposta indiciale di un sistema elementare

del secondo ordine con poli complessi e coniugati a parte reale negativa (ovvero per 0 < δ < 1)

sono (vedi anche figura 5.13):

Tempo di assestamento Si definisce tempo di assestamento t al 5% (2%) il tempo ne-

s

cessario affinchè la risposta indiciale abbia uno scostamento massimo del 5% (2%) del

valore finale. 59

Figura 5.12: Risposta indiciale del modello

Si definisce tempo di ritardo t , il tempo necessario affinché la risposta

Tempo di ritardo d

indiciale raggiunga il 50% del valore finale.

Tempo di salita Si definisce tempo di salita t il tempo necessario affinchè la risposta

r

raggiunga per la prima volta il valore finale.

Tempo di picco Si definisce tempo di picco t il tempo necessario per raggiungere il picco

P

massimo nella risposta indiciale.

Massima sovraelongazione percentuale Si definisce massima sovraelongazione percen-

tuale M , la differenza tra il valore massimo dell’uscita e il valore finale, espresso in

p

termini percentuali di quest’ultimo.

Figura 5.13: Caratteristiche di una risposta nel tempo

60

Dato che abbiamo assunto τ ≫ τ possiamo fare la seguente approssimazione:

m a

ω(s) 1

1 1

= = (5.1)

=

2 2

ω (s) τ τ s + τ s + 1 τ τ s + (τ + τ )s + 1 (1 + τ s)(1 + τ s)

m a m m a m a m a

La risposta nel tempo al segnale a gradino sarà quindi quella di figura 5.15, infatti:

ω

1

1 ∼

ω (s)

ω(s) = =

2

τ τ s + τ s + 1 (1 + τ s)(1 + τ s) s

m a m m a

Figura 5.14: Poli della funzione di trasferimento e della risposta

Per ricavare la risposta nel tempo, antitrasformiamo la funzione di trasferimento dell’eq.

5.1 utilizzando la tecnica dell’espansione in fratti semplici e rappresentiamola nel grafico di

figura 5.15. ω(s) 1 A A A

1 2 3

F (s) = = = + +

ω s(1 + τ s)(1 + τ s) s 1 + τ s 1 + τ s

m a a m

 τ

ω(t) τ 

 m

a −t/τ −t/τ

− u(t)

= e e

1 + a m 

ω τ − τ τ − τ 

 m a m a

{z } {z }

| |

Modo di p Modo di p

1 2

Si osserva che il modo più influente è quello relativo al polo più vicino all’asse immaginario p .

2

Quest’ultimo è detto polo dominante. Si ha una effettiva dominanza se risulta p /p > 10.

1 2

In tal caso si può approssimare il sistema con quello del primo ordine avente un solo polo in

p . Nel nostro caso risulta:

2

ω(t) τ m −t/τ u(t)

= 1 − e m

ω τ − τ

m a

Il fatto che sia τ ad influenzare il transitorio è negativo perchè maggiore è τ e più lentamente

m m

si avvia la macchina a cc. 61

Figura 5.15: Modi dei poli

5.5 Progettazione dei controllori

Dopo aver esaminato la dinamica del motore a cc analizziamo il comportamento di due

funzioni di trasferimento particolari:

• La funzione del Modulo Ottimo

• La funzione dell’Ottimo Simmetrico

Queste due funzioni hanno delle caratteristiche che le rendono utili per il progetto dei

regolatori degli azionamenti elettrici al fine di ottenere motori prestanti. Infatti l’applicazione

di uno dei due metodi permette di avere un risposta pronta del motore a cc (poli a 45 con

δ = 0.707).

5.5.1 Metodo del Modulo Ottimo

Nel progetto di un sistema di controllo della velocità di un motore a cc si cerca di ottenere

una funzione di trasferimento che permetta di ottenere un sistema di tipo 1 (polo nell’origine,

figura 5.16) con poli complessi coniugati con parte reale negativa.

Figura 5.16: Modulo ottimo

62

1

M O

G (s) = FT in anello aperto

2τ s(1 + τ s)

1

M O

G (s) = FT in anello chiuso

2 2

2τ s + 2τ s + 1

1 1

1 3 π

±j

√ e

± j =

p = − 4

1/2 2τ 2τ 2τ

Un sistema che presenti una funzione di trasferimento di questo tipo ha risposta sotto-

smorzata come in figura 5.17 le cui caratteristiche sono:

• δ 0.707

= 1

• ω = √

n 2τ

• overshoot=4.3%

• rise time=4.7τ

• settling time (2%)=8.4τ

Figura 5.17: Risposta di un sistema con modulo ottimo

5.5.2 Metodo dell’Ottimo Simmetrico

Il metodo dell’ottimo simmetrico permette di ottenere sistemi più rapidi rispetto al metodo

del modulo ottimo. Il sistema risulta essere di tipo 2 con un polo reale e due complessi

coniugati con parte reale negativa. 1 + 4τ s

OS FT in anello aperto

G (s) = 2 2

8τ s (1 + τ s)

1 + 4τ s

OS

G (s) = FT in anello chiuso

3 3 2 2

8τ s + 8τ s + 4τ s + 1

√ 3

1 1 1

2 π

±j

p = − ± j = e , p = −

3 3

1/2 4τ 4τ 2τ

La risposta al gradino è mostrata in figura 5.19 e presenta le seguenti caratteristiche:

63

Figura 5.18: Metodo dell’ottimo simmetrico

• δ 0.707

= 1

• ω = √

n 2τ

• overshoot=43.4%

• rise time=3.1τ

• settling time (2%)=16.5τ

Figura 5.19: Risposta dell’ottimo simmetrico

La presenza dello zero nella funzione di trasferimento rende il sistema rapido, ma introduce

un overshoot eccessivo. È neccessario, pertanto, inserire a monte un filtro di smoothing

OS

che annullerà il numeratore della G : 1

G =

smooth 1 + 4τ s

L’overshoot ancora eccessivo del 8.2% richiede però un filtraggio ancora più spinto. Un

overshoot inferiore al 5% è generalmente accettabile e può essere ottenuto moltiplicando la

costante di tempo τ per un fattore di 1.2: 1

G =

smooth 1 + 4 · 1.2τ s

La risposta del modello finale è rappresentata in figura 5.20 con le seguenti caratteristiche :

64

• overshoot=2.2%

• rise time=9.1τ

• settling time (2%)=17.9τ

Figura 5.20: Risposta dell’ottimo simmetrico con filtro smoothing e 1.2τ

A fronte di una notevole riduzione dell’overshoot, il tempo di assestamento è aumentato

solo di poco.

5.5.3 Controllo velocità tramite PI con Modulo Ottimo

Riprendiamo il controllo affrontato nel paragrafo 5.3 che riportiamo nella figura 5.21.

Figura 5.21: Feedback e proporzionale integrale

Tarare il P I con il Metodo Ottimo significa determinare i valori di k e k necessari a

p i

δ = 0.707. Per

cambiare la dinamica del motore da sovrasmorzato a sottosmorzato con

progettare il P I in modo tale che la funzione in anello aperto dello schema di controllo diventi

4

uguale a quella del Modulo Ottimo in anello aperto, effettuiamo una cancellazione polo-zero

4 Si ricorda che non è possibile effettuare una cancellazione polo-zero nel semipiano destro, ovvero quando

la radice è positiva 65

ponendo: τ = τ

i m

Figura 5.22: Diagramma in semplificazione polo-zero

In questo modo abbiamo già fissato k e la dinamica non è più influenzata dalla costante

i

meccanica τ . Possiamo eguagliare le due fuzioni di trasferimento che ora presentano lo

m

stesso grado per poter ricavare k :

p 1 1

k K K 1

p T A M O

G = = = G

0 kΦ τ s 1 + τ s 2τ s(1 + τ s)

m a a a

τ kΦ

m

→ k =

p 2τ K K

a T A

Figura 5.23: Schema con P I con modulo ottimo

Quindi il sistema risulterà ora sottosmorzato (risposta del modulo ottimo, figura 5.17) e

pertanto più prestante. Di contro però, esso presenterà, nella fase di avvio, un assorbimento

di corrente molto elevato.

Limitazione della corrente assorbita all’avviamento

Il motore in cc controllato mediante il P I, progettato con il metodo del Modulo Ottimo,

assorbe all’avviamento una corrente 25-30 volte superiore a quella nominale di armatura i

an

in risposta ad un gradino di velocità, e ciò è molto dannoso per i componenti elettronici del

motore.

Questa è conseguenza dell’aumento di accelerazione del motore dω/dt a seguito della

cancellazione della costante meccanica τ . Supponendo nulla la coppia resistente C si ha:

m r

J = C = kΦi

e a

dt 66

Figura 5.24: Assorbimento di corrente all’avviamento

che mostra come all’aumento dell’accelerazione corrisponda un diretto aumento della corrente

di armatura i .

a max

Per limitare la corrente assorbita ad un determinato valore i (ad esempio pari a 2i )

n

a

all’avviamento è possibile trasformare il segnale a gradino in ingresso, in una rampa di

opportuna pendenza. Fissando quindi i = 2i :

a n

J = kΦ2i

n

dt max

che rappresenta la funzione di trasferimento per la conversione del tipo di segnale in ingresso.

Sollecitando il sistema con un ingresso a gradino si otterrà un uscita a rampa:

ω(s) 1

kΦ2i kΦ2i

n n

= = 2

ω (s) Js s Js

2

dove il termine 1/s rappresenta effettivamente una rampa. Nel dominio del tempo, la rampa

in ingresso al motore avrà quindi equazione:

kΦ2i kΦ2i

n n

dω = dt → ω(t) = t

J J

kΦ2i

Figura 5.25: Rampa di pendenza n

J

In simulazione la realizzazione della trasformazione del gradino in rampa, si ottiene

realizzando lo schema a blocchi di figura 5.26 con l’ausilio di un blocco dove la funzione

Sign.

e(t) = ω (t) − ω(t) è l’errore di velocità, ed è la differenza tra la velocità istantanea e quella

obiettivo. Nel caso in cui: 67

Figura 5.26: Blocco restituisce in uscita il segno dell’errore

Sign:

> 0 l’integratore integra e si ha uscita ω, l’errore si riduce sempre più fino ad

• e(t)

annullarsi. ∗

• e(t) = 0 l’integratore non integra più e mantiene costante la sua uscita al valore ω .

L’assorbimento di corrente si riduce entro valori accettabili come espresso dal grafico 5.27.

Figura 5.27: Assorbimento di corrente con rampa

5.6 Stimatore di coppia in feedforward

Nel diagramma a blocchi visto nel paragrafo 5.1 riguardante la compensazione in avanti per

il controllo della velocità, era necessario un sensore di coppia per misurare C . In alternativa

r

è possibile adottare un modello sensor-less, stimando la coppia resistente (s) misurando

r

corrente d’armatura i e velocità angolare ω su un modello con uscita in corrente (figura

a

5

4.13 ). Infatti: Jsω(s) = C − Ĉ (s) → Ĉ (s) = kΦi (s) − Jsω(s)

e r r a

Disegnamo quindi il diagramma prelevano le due misurazioni e aggiungendo un blocco

stimatore come riportato di seguito (figura 5.28):

Il problema di questo stimatore è la presenza di un derivatore puro, che amplifica il rumore

alle alte frequenze: tale fenomeno non è visibile in simulazione, ma si presenta durante il

controllo di un motore reale. Modifichiamo lo schema per evitare questo problema (figura

5.29). Dimostriamo ora che l’uscita del nuovo stimatore di coppia è effettivamente proprio la

5 Non possiamo utilizzare il modello equivalente di figura 4.14 perchè richiederebbe necessariamente un

trasduttore di coppia, cosa che vogliamo evitare di utilizzare.

68

Figura 5.28: Schema in feedforward con stimatore di coppia

Figura 5.29: Stimatore di coppia modificato

stima della coppia resistente.

h i h i

g g

g kΦi (s) + Jgω(s) − Jgω(s) = kΦi (s) − Jgω(s) = Ĉ (s)

X(s) = a a r

s + g s + g s + g

Scegliendo g molto piccola si ottiene proprio la stima di coppia ritardata di un intervallo di

tempo altrettanto piccolo: g ∼

Ĉ (s) Ĉ (s)

X(s) = =

r r

s + g

g

L’errore minimo, tipico del controllo in feedforward, potrebbe, sommandosi con gli errori

di misurazione su i e ω, divenire non trascurabile. Effettuiamo a tal proposito lo studio delle

a

variazioni parametriche rispetto al caso nominale:

J = J + ∆J , kΦ = (kΦ) + ∆(kΦ)

n n

L’equazione di equilibrio meccanico risulta cosı̀ modificata:

dω dω

dω = kΦ − C → J + ∆J = (kΦ) i + ∆(kΦ)i − C

J r n n a a r

dt dt dt

dω = (kΦ) i − C + ∆J − ∆(kΦ)i

J n a r a

n dt dt

| {z }

C ′

r

69

Figura 5.30: Schema completo di feedforward

dove C è un disturbo equivalente che tiene conto anche delle variazioni parametriche,

r

ovvero degli scostamenti che si possono verificare rispetto dalle condizioni nominali. Quindi

il motore, nello schema di figura 5.30 con compensazione in avanti e stimatore di coppia, si

comporta come se funzionasse con i parametri nominali J e (kΦ) .

n n

Usare la compensazione in avanti e lo stimatore di coppia è conveniente anche in uno

schema con controllore PI compensando a valle di quest’ultimo. In questo modo il PI potrà

esplicare la sua azione di controllo su di un errore in ingresso sicuramente di entità minore.

Inoltre se lo speed PI è tarato per avere come risposta di velocità quella del modulo ottimo,

allora τ e k risulteranno:

i p τ (kΦ)

R J m n

a , k =

τ = τ = p

i m 2

(kΦ) 2τ K K

a T A

n

Il modello finale di compesazione in avanti con stimatore di coppia e controllore PI tarato

secondo il metodo del modulo ottimo è rappresentato in figura 5.31.

Figura 5.31: Schema con speed PI

70

Capitolo 6

Controlli di coppia

Nei capitoli precedenti sono stati esaminate tecniche per controllare la velocità del motore

in cc. Nel controllo di velocità si modifica la tensione d’armatura v allo scopo di mantenere

a

la velocità ω del motore costante e pari a ω al variare della coppia resistente C (figura 6.1.a.

r

Controllando il motore possiamo modificare la tensione di armatura v in modo tale da

a

mantenere la corrente pari a i al variare della coppia resistente C . Si ha un funzionamento

r

a ∗ al variare di C come rappresentato in

a coppia elettromagnetica costante pari a C = kΦi r

e a

figura 6.1.b: Figura 6.1: a.Controlli di velocità; b.Controlli di coppia ∗

Per realizzare un controllo a coppia elettromagnetica costante pari a C si ricorre ad un

e

regolatore di tipo P I. Al diagramma di figura 4.14 aggiungiamo il il traduttore

Current PI,

di corrente LEM , la dinamo tachimetrica ed il raddrizzatore, che presenteranno però ora

dalle seguenti funzioni di trasferimento: k k k

1 + τ f T A

ii G = G = G =

G = k LEM DT Radd

CurrentP I pi τ s 1 + τ s 1 + τ s 1 + τ s

ii f T A

che portano in conto anche il ritardo introdotto da tali apparecchiature (dato che non esiste

nessun dispositivo che abbia risposta istantanea). Possiamo quindi realizzare uno schema a

blocchi più realistico come quello in figura 6.2:

6.1 Cascade control

Allo schema per il controllo di coppia si può aggiungere un anello esterno per il controllo

di velocità. In questo modo si realizza un controllo in cascata.

71

Figura 6.2: Diagramma del controllo di coppia

Figura 6.3: Cascade control

È possibile effettuare un solo controllo per volta: o di velocità, o di coppia. Questo

controllo è effettuato tramite un semplice interruttore (figura 6.4 che chiude l’anello

switch

di controllo voluto. Figura 6.4: Cascade control con switch

Il regolatore dell’anello interno (il current PI) è progettato in modo che la risposta

dell’anello interno sia più veloce di quella dell’anello esterno. Si progetta, quindi, prima il

current PI con il metodo del modulo ottimo e poi il regolatore dell’anello esterno, lo speed

PI, con il metodo dell’ottimo simmetrico. 72

6.1.1 Progetto del Current PI

Considriamo il solo anello interno, quello riguardante il controllo di coppia, e modifichiamo

il diagramma a blocchi in modo da avere una sola retroazione unitaria.

Figura 6.5: Cascade control con switch

La funzione di trasferimento risulta che per τ ≫ τ :

m a 1

1

τ s τ s τ s

1 ∼

m m m

=

=

2 2

R τ τ s + τ s + 1 R τ τ s + (τ + τ )s + 1 R (1 + τ s)(1 + τ s)

a m a m a m a m m a m a

Considerando anche che lo zero −1/τ è molto vicino all’origine, è possibile fare la seconda

m

approssimazione: ✘

✘✘ 1

1+ τ s

τ s 1

1

1 ✘

∼ m

m =

= ✘

(1 + τ s)(1 + τ s)

R (1 + τ s)(1 + τ s) R R (1 + τ s)

✘ m a

a m a a a a

Con le approssimazioni fatte lo schema si presenta ora come in figura 6.5

Figura 6.6: Anello interno approssimato

Supponendo di analizzare il caso di C = 0 con ingresso i (s), la funzione di trasferimento

r a

1

in catena diretta sarà: k k 1

1 + τ s f A

ii

G = k pi τ s R (1 + τ s)(1 + τ s)(1 + τ s)

ii a f A a

Per poter applicare il Modulo ottimo la funzione di trasferimento deve essere necessariamente

del secondo ordine per porter effettuare l’uguaglianza. A tal proposito consideriamo la

seguente semplificazione. ∼

2

(1 + τ s)(1 + τ s) = τ τ s + (τ + τ )s + 1 (τ + τ )s + 1 = τ s + 1

=

f A f A f A f A Σ i

1 Tra un nodo ed il successivo 73

2

Abbiamo trascurando il termine in s e sommato tra loro le piccole costanti di tempo in

τ = τ + τ . Effettuiamo ora la cancellazione polo-zero ponendo τ = τ (dato che τ è la

Σ f A ii a a

i

costante di tempo più grande). Risulta ora che:

1 + τ s 1 1

k k k k k

a f A pi f A

G = k =

pi τ s R (1 + τ s)(1 + τ s) R τ s(1 + τ s)

a a Σ a a a Σ

i i

Non ci rimare ora che determinare k usando il metodo del modulo ottimo. Si uguagliano la

pi

funzione di trasferimento in catena diretta e quella del modulo ottimo:

1 k k k τ R

1

pi f A a a

M O

G = = = G → k =

pi

2τ R τ s(1 + τ 2τ

s(1 + τ s) s) k k

Σ Σ a a Σ Σ f A

i i i i

Il nuovo diagramma con il metodo del modulo ottimo in catena diretta sarà:

Figura 6.7: Anello interno tarato con il modulo ottimo

Dal diagramma di figura 6.7 si ha che:

i (s) ∼

a M O M O MO

∗ ∗

= G → i (s) = G (1 + τ s)i (s) i (s) = G i (s)

=

a f a

0 0 a 0 a

∗ (s)

(1 + τ s)i

f a

dato che τ è piccolo abbiamo trascurato il termine ad esso associato. La risposta pertanto è

f

proprio quella tipica del modulo ottimo (figura 6.8).

Figura 6.8: Risposta dell’anello interno

6.1.2 Progetto dello Speed PI

Aggiungiamo l’anello di velocità all’anello di coppia già progettato. Lo schema del controllo

in cascata è: 2

Cerchiamo di semplificare alcune funzioni di trasferimento. Trascurando il termine in s

si ha: 1 1

M O

G = =

0 2 2

s + 2τ

2τ s + 1 2τ s + 1

Σ Σ

Σ i i

i 74

Figura 6.9: Progetto dello speed PI

Essendo poi τ molto piccola si ha:

f ✚

2 2

1 − τ s

1 + τ 1 − τ 1

1 + τ ✚ ∼

f f

f f

= = =

k k 1 − τ s k (1 − τ s) k (1 − τ s

f f f f f f f

Infatti i poli rappresentano sempre un ritardo, mentre gli zeri un anticipo. Sia poli che zeri

possono essere trasformati e semplificati quando τ è molto piccola. Zero iniziale e polo finale

rappresentano lo stesso punto nel piano di Gauss.

A questo punto riportiamo, anche in questo caso,lo schema ad uno equivalente con

retroazione unitaria: Figura 6.10: Speed PI e retroazione unitaria

Supponendo di analizzare il caso di C = 0 con ingresso ω (s), la funzione di trasferimento

r

in catena diretta sarà: k 1 + τ 1 kΦ

1

T iω

G = k pω 1 + τ s τ k (1 − τ s) 1 + 2τ s Js

T iω f f Σ i

3 2

Sviluppando il denominatore e trascurando i termini in s e s possiamo semplificare alcuni

termini: ∼

(1 + τ s)(1 − τ s)(1 + 2τ s) 1 + (τ − τ + 2τ )s = 1 + τ s

=

T f Σ T f Σ Σ ω

i i

dove τ = τ − τ + 2τ racchiude la somma delle piccole costanti di tempo. Il nuovo

Σ T f Σ

ω i

modello è riportato in figura 6.11: La funzione di trasferimento in catena diretta deve essere

Figura 6.11: Diagramma semplificato

75

necessariamente ridotta di grado. Imponiamo per questo che τ = 4τ ed otteniamo che:

iω Σ ω

k k kΦ 1 + 4τ s

k k kΦ

1 + τ s 1

pω T Σ

pω T

iω ω

G = =

2 2

Jk τ s (τ Jk τ s (τ

s + 1) s + 1)

f iω Σ f iω Σ

ω ω {z }

|

Rete Anticipatrice

Uguagliamo ora la funzione dell’ottimo simmetrico con la funzione di trasferimento in

catena diretta del modello:

1 + 4τ s k k kΦ k k kΦ

1 + τ s 1 + 4τ s

Σ pω T pω T

iω Σ

OS ω ω

G = = = = G

2 2 2 2

s (1 + τ

8τ s) Jk τ s (τ Jk τ s (τ

s + 1) s + 1)

Σ f iω Σ f iω Σ

Σ ω ω ω

ω Jk

f

→ k =

pω 2kΦk τ

T Σ ω

Gli schemi di controllo sono pertanto: La risposta del sistema presenta un overshoot elevato,

Figura 6.12: Schema in catena diretta e con retroazione

quindi aggiungiamo a monte un filtro smoothing.

6.1.3 Limitatore di corrente d’avviamento

Il sistema progettato funziona molto bene in termini di rapidità al disturbo, ma ha

il problema dell’elevata corrente assorbita all’avviamento per un ingresso a gradino. In

alternativa si può pensare di fornire invece un ingresso a rampa con pendenza:

kΦ2i n

J

In questo modo la risposta al disturbo resta rapida, e la corrente assorbita all’avviamento è

limitata.

Il problema di limitare la corrente d’armatura all’avviamento può essere risolto anche

mediante un limitatore di corrente, o anche detto saturatore, posto in serie e a valle dello

speed PI come in figura 6.14:

Il limitatore di corrente ha la caratteristica rappresentata in figura 6.15.

∗max

Quando la tensione si mantiene all’interno dell’intervallo ±v , il motore funziona

i

correttamente con modulo ottimo. Quando però la tensione in ingresso (somma di quella

proveniente dal ramo proporzionale e quella del ramo integrale dello speed PI) supera i valori

soglia, il limitatore di corrente entra in saturazione ed il motore entra in regime oscillatorio

aggressivo: il cosiddetto wind-up. 76

Figura 6.13: Ingresso a rampa

Figura 6.14: Schema con saturatore

Figura 6.15: Schema con saturatore

Figura 6.16: Motore in wind-up: overshoot al 97.5%

Per comprendere meglio questo dannoso fenomeno viene riportato di seguito il diagramma

con il controllore speed PI aperto. Poichè inizialmente la macchina è ferma ω = 0, l’errore di

velocità e in ingresso al controllore è elevato ed il limitatore entra subito in saturazione, per

ω 77

Figura 6.17: Schema con saturatore e speed PI aperto

∗max

cui l’uscita del limitatore si porta subito a v , da cui:

i

dω kΦ2i kΦ2i

n n

max

j = C = kΦ2i . → dω = dt → ω = t

n

e

dt J J

In saturazione pertanto risulta che la velocità angolare ha andamento lineare. Vediamo in che

modo quindi il wind-up si verifica: calcoliamo le uscite in tensione sia del ramo proporzionale,

che del ramo integrale ricordando che e(s) = ω − ω:

kΦ2i

n

 ∗

∗ t

ω −

v = k k e = k k

 T pω ω T pω

ip

 J ∗ ∗ ∗

→ v = v + v

Z i ip ii

T 2

t

kΦ2i

 n

 ω t −

e dt = k k

v = k k

 ω T iω

T iω

ii

 J 2

0

dove v è l’uscita dello speed PI. Si può notare che l’azione proporzionale diviene nulla quando

i

l’errore e si annulla. Determiniamo tale istante:

ω

Z T

∗ ∗

Jω Jω

∗ ∗

v = k k e = 0 → t | = e dt = 0 → t | =

= k k

v

T pω ω e =0 ω e =0

T iω

ip ii ω

ω kΦ2i kΦi

n n

0

Si nota subito che i due segnali non si annullano contemporaneamente, e questo è il motivo

principale che causa il wind-up. Analizziamo l’andamento rappresentato in figura 6.18:

L’errore è massimo e quindi anche il ramo proporzionale fornisce tensione molto elevata.

t 0 ∗max

Il sturatore di conseguenza si porta a lavorare a +v ed il motore continua ad

i

accelerare.

t L’errore è nullo, ma il ramo integrale continua a fornire tensione elevata che continua

=0

e ω ∗max

a far lavorare il limitatore in saturazione a +v .

i

Il saturatore riprende a funzionare correttamente in zona lineare fornendo in uscita una

t 1 tensione pari a quella in ingresso. La ω si riduce.

Quando la velocità angolare si riduce sotto la ω , l’errore cambia di segno ed assume

t 2 ∗max

entità tale da riproporre il problema iniziale invertito di segno: −v . Al termine di

i

questo nuovo ciclo di wind-up, il limitatore non entra più in saturazione e si raggiunge

la velocità stabile di ω (figura 6.18).

6.2 Soluzioni al wind-up

Il fenomeno di wind-up dipendente dall’azione integrale, ovvero dal k guadagno integrale.

Alcune soluzioni a tale problema vengono riportate di seguito:

78

Figura 6.18: Comportamento del wind-up

• Se diminuiamo il guadagno integrale fino a che il massimo di v (t) coincida con il valore

ii

∗max

massimo di saturazione v allora il sistema esce dalla saturazione proprio in t e =0

i ω

quando cioè e = 0. In questo modo il sistema sarà più lento, ma eviteremo il fenomeno

ω

del wind-up.

Volendo però riportare il sistema ad un funzionamento con risposta rapida possiamo

• ∗

pensare di imporre che all’istante t la tensione v (t) abbia un valore massimo che

e =0 ii

ω

rientri nei limiti di saturazione:

2

kΦ2i t

n

new ∗

∗ ∗max ω t −

v (t) ≤ v → k k ≤ 2k i

f n

T

ii i iω J 2

2

8kΦk i

f n

new ≤

k iω ∗2

k Jω

T

Con questa prima mossa abbiamo eliminato il fenomeno del wind-up, ma il regolatore

non è più tarato secondo l’ottimo simmetrico. Pertanto procediamo alla taratura dello

new

new da k , e ponendo τ = 4τ

speed PI, ricavando, questa volta, τ .

iω Σ

Σ ω

ω 2 2

new ∗2

8kΦk i J ω

Jk

k f

f n

iω 2 new

new ≤ → τ ≥

=

k = Σ

iω new 2 new 2 2 2

∗2

τ 8kΦk τ k Jω 64k Φ i

ω

T T n

iω Σ ω ∗

new

τ ≥

Σ 8kΦi

ω n

79

Sostituendo la funzione di trasferimento del controllore con una rete ritardatrice:

1 + τ s

Σ new new

ω

G = → con τ > τ se k < k

Rit Σ iω

Σ iω

new ω

1 + τ ω

Σ ω

Figura 6.19: Schema con rete ritardatrice

La funzione di trasferimento in anello aperto diviene:

k kΦ

1 + τ s 1 1 + τ s

1 + τ s

T

Σ iω

ω =

k

G = pω

new new

2 s)

1 + τ k J s(1 + τ τ s s (1 + τ

s)

f Σ iω

Σ Σ

ω ω

ω

Sostituendo i seguenti parametri nell’equazione precedente si ottiene il diagramma a

blocchi di figura 6.20: Jk

f new

k = , τ = 4τ

iω iω Σ

2 new

8kΦk τ ω

T Σ ω

Quindi abbiamo verificato che usando la rete ritardatrice la risposta di velocità rimane

Figura 6.20: Schema senza wind-up e con ottimo simmetrico

quella dell’ottimo simmetrico.

È necessario infine l’inserimento di un filtro di smoothing a monte del sistema (figura

6.21): Figura 6.21: Schema con filtro smoothing

80

• Un ulteriore metodo è quello che prevede di utilizzare un controllore che dispone di un

integratore limitato che integra l’errore e solo quando la tensione è compresa nei

ω

limiti: ∗max ∗ ∗max

−v < v < +v

i i i

Lo schema del motore diviene quindi (figura 6.22):

Figura 6.22: Schema con integratore limitato

81

Capitolo 7

Controllo di posizione

Vogliamo ora cercare di effettuare un controllo di posizione angolare θ(s). Riprendiamo il

modello classio del motore a cc di figura 4.11 e lo modifichiamo opportunamente imponendo

che la costante del trasduttore di posizione sia pari a k = 1: Si può notare che è stato

θ

Figura 7.1: Schema di controllo posizione

inserito un blocco PID che rappresenta il blocco controllore ed ha funzione di trasferimento:

k k 1

k k

i i d p 2

G = k + 1 + 1 + τ τ s + τ s + 1

+ k s = k + s = k + τ s =

P ID p i d i

d p p d

s k s k τ s τ s

p p i i

Dato poi che τ ≫ τ allora possiamo approssimare a:

i d

k

k

k ∼ p

p

p 2 2

τ τ s + τ s + 1 τ τ s + (τ + τ )s + 1 = (1 + τ s)(1 + τ s)

G = =

i d i i d i d i d

P ID τ s τ s τ s

i i i

Progettiamo adesso il PID in modo da ottenere la risposta dell’ottimo simmetrico. La

funzione in anello aperto dello schema di figura 7.1 è: 1 1

k

k A

p (1 + τ s)(1 + τ s)

G = i d

τ s kΦ (1 + τ s)(1 + τ s) s

i i d

Si procede alla cancellazione del polo −1/τ imponendo che τ = τ e scegliendo τ = 4τ .

m i m d a

Uguagliando la funzione di trasferimento del modello con quella dell’ottimo simmetrico risulta:

1 + 4τ s 1 + 4τ s

k

k a a

A

p OS

= G

=

G = 2

2 2 s (1 + τ s)

τ kΦ s (1 + τ s) 8τ a

m a a

kΦτ m

→ k =

p 2

k 8τ

A a

ricordandosi di aggungere, a monte del modello, anche un filtro di smoothing per ridurre cosı̀

il tipico overshoot eccessivo. 82

Nota

In realtà il PID si implementa aggiungendo un polo in −1/τ per non amplificare il rumore

d

alle alte frequenze. k (1 + τ s)(1 + τ s)

p i d

G =

P ID τ s 1 + 0.1τ s

i d

Ciò shifta la funzione di trasferimento, ma permetterà di semplificare il numeratore ed il

denominatore in τ solo dopo una decade, ovvero proprio alle alte frequenze, in modo tale da

d

non amplificare il rumore. 83

Capitolo 8

Controlli inseguitori

I controlli inseguitori permettono sostanzialmente di imporre al motore una determinata

funzione di posizione angolare, per esempio quando si vuole che un braccio robotico esegua

determinati movimenti, o anche di velocità.

8.1 Inseguimento di traiettoria

Con l’inseguitore di traiettoria intendiamo che il motore segue la nostra funzione/andamento

di posizione istante per istante. Il diagramma è il seguente di figura 8.1 dove per comodità il

raddrizzatore k è stato inglobato all’interno del blocco DC Motor:

A k 1 1 k k

A m A

G = = con k =

DC m

kΦ (1 + τ s)(1 + τ s) s s(1 + τ s)(1 + τ s) kΦ

a m a m

La presenza del controllore G è fondamentale per l’inseguimento di traiettoria. Infatti a

c

Figura 8.1: Schema per l’inseguimento di traiettoria

causa del fatto che non possiamo conoscere i parametri effettivi della macchina, utilizziamo

quelli di targa, che non necessariamente corrispondono a quelli reali nelle condizioni di

effettivo utilizzo del motore.

Per realizzare l’inseguimento di traiettoria, la funzione di controllo deve essere in grado

di realizzare l’uguaglianza θ(s) = θ (s), ma se ricaviamo la G , possiamo notare che il

0

diagramma ha bisogno di essere modificato:

G G

c DC ∗ ∗

G = → θ(s) = G θ (s) → θ(s) 6 = θ (s)

0 0

1 + G G

c DC

Modifichiamo quindi il diagramma sommando a G un’altra funzione G , e portando

c x

anche in catena diretta la funzione G come in figura 8.2.

c

Determiniamo per quale funzione G si realizza l’inseguimento di traiettoria, ricordando

X ∗

che blocchi in parallelo, come quelli in ingresso in θ (s), sono semplificabili in un unico blocco.

84

Figura 8.2: Schema per l’inseguimento di traiettoria modificato

Otteniamo quindi:

G θ(s)

G

G G X DC

c DC ∗ =

1+ θ (s) → G = G + G

θ(s) = 0 c X ∗

1 + G G G 1 + G G θ (s)

c DC c c DC

Per avere l’inseguimento di traiettoria dobbiamo imporre che:

G

θ(s) DC G + G

= 1 → G = = 1

0 c X

θ (s) 1 + G G

c DC

1 (1 + τ s)(1 + τ s)s (1 + τ s)s

a m m

G = = =

X G k k

DC m m

Possiamo pensare a G come una funzione composta da più blocchi in serie e ridisegnare il

X 1

modello finale (figura 8.3) : τ

1 m 2

s + s

G =

X k k

m m

Figura 8.3: Schema per l’inseguimento di traiettoria finale

2 ∗

Dunque se fissiamo l’accelerazione di riferimento s θ (s) (il cui valore deve essere scelto

in maniera tale da ottenere la traiettoria di tempo minimo, figura 8.4), allora di conseguenza

∗ ∗

saranno fissate sia la velocità, sθ (s), che la posizione θ (s).

8.2 Inseguimento di velocità

Disegniamo un diagramma di inseguimento di velocità analogamente a quanto fatto per

quello di traiettoria. La funzione di trasferimento del motore è:

1 L’implementazione del segnale opzionale di è fondamentale nelle applicazioni di precisione. Infatti

Jack

permette di evitare vibrazioni e scatti indesiderati dell’apparecchiatura collegata al motore.

85

Figura 8.4: Traiettoria di tempo minimo

Figura 8.5: Schema per l’inseguimento di velocità

k 1 k k

A m A

G = = con k =

m

DC kΦ (1 + τ s)(1 + τ s) (1 + τ s)(1 + τ s) kΦ

a m a m

Portando G in catena diretta si ricava, come per l’inseguitore di traiettoria, che:

c (1 + τ s)(1 + τ s) (1 + τ s)

1 ∼

a m m

=

G = =

X ′

G k k

m m

DC

La funzione di trasferimento del modello è quindi:

1 + τ k

iω m

G = G G = k

0 c pω

DC τ s (1 + τ s)(1 + τ s)

iω a m

Tariamo il PI secondo il criterio del modulo ottimo. Poniamo quindi τ = τ per effettuare

iω m

la cancellazione polo-zero ottenendo:

✘✘ k

k

1+ τ

✘ m

m

iω = k

G = k ✘

✘ pω

0 pω ✘ 2

(1 + τ s)

τ s (1 + τ s) τ τ s + τ s

✘ m

iω a m a m

Uguagliamo quest’ultima con il modulo ottimo:

k 1 τ

m m

M O

G = k = = G → k =

0 pω pω

2

τ τ s + τ s 2τ s(1 + τ s 2τ k

m a m a a a m

Possiamo pensare a G come una funzione composta da più blocchi in serie, ottenendo

X

cosı̀ un nuovo diagramma per il modello.

(1 + τ s) 1 τ

∼ m m

G = + s

= k k k

m m m

8.3 Inseguimento in cascata

Vogliamo effettuare un doppio controllo di inseguimento grazie all’adozione di un in-

terruttore a due anelli (interno ed esterno), che ovviamente permetterà un controllo per

86

Figura 8.6: Schema per l’inseguimento in cascata

volta. Disegniamo il diagramma di inseguimento di velocità in anello interno, e poniamo il

diagramma di inseguimento traiettoria in anello esterno.

Spostiamo i nodi tutti al nodo in ingresso θ (s). Il nuovo diagramma è il seguente (figura

8.7): Figura 8.7: Schema per l’inseguimento in cascata nodificato

Per avere l’inseguimento di traiettoria imponiamo che:

 θ(s) = 1

 ∗

θ (s) G

1 X

s + s =1

1 +

→ G

0

1 G k k G

X

 p p c

1 +

θ(s) = G s + s θ (s)

 0 k k G

p p c

Da cui, attraverso alcuni passaggi, si ricava: 1

G =

X ′

G DC

A questo punto è possibile procedere con la taratura del PI dell’anello interno (figura 8.8)

del controllo in cascata con il criterio del modulo ottimo, ricavando cosı̀ :

τ K

m A

τ = τ , k = , k =

iω m pω m

2τ k kΦ

a m

Per quanto rigurda il controllo P dell’anello esterno (figura 8.9), esso si progetta con la

regola di Ziegler-Nichols: CR

k 1

p =

k =

p 2 2τ a

87

Figura 8.8: Schema per la taratura del PI

Figura 8.9: Schema per la taratura del P

CR

dove k è il valore della costante proporzionale quando il sistema è al limite di instabilità ed

p

un suo ulteriore incremento porterebbe all’instabilità della risposta del sistema. Tale valore

si può determinare con il criterio di o sperimentalmente.

Routh 88

Capitolo 9

Macchina elettrica sincrona

Lo statore è costituito da materiale ferromagnetico laminato e nelle cave ricavate alla

periferia del traferro è alloggiato un avvolgimento trifase percorso da correnti alternate. Il

rotore, generalmente, è di materiale ferromagnetico massiccio (eventualmente sono laminate

le espansioni polari) ed è sede di un avvolgimento di eccitazione percorso da corrente continua.

Si possono avere due diversi tipi di struttura di rotore:

La figura 9.1 di sinistra mostra il rotore di una macchina a poli lisci. L’avvol-

A poli lisci

gimento di eccitazione (o di campo, da qui il pedice f = f ield) è disposto nelle cave

distribuite lungo la periferia del rotore. Il traferro ha spessore costante ed il circuito

magnetico è isotropo.

La figura 9.1 di destra mostra una macchina a poli salienti. L’avvolgimento

A poli salienti

di eccitazione è costituito da bobine avvolte sui corpi dei poli. Il traferro in questo

caso ha spessore variabile ed il circuito magnetico è anisotropo; in particolare vengono

evidenziati l’asse polare, in cui il traferro è minimo e l’asse interpolare, in cui il traferro

è massimo. Figura 9.1: Macchina a poli lisci e a poli salienti

L’avvolgimento di eccitazione, percorso dalla corrente continua i , crea una f mm al

f

traferro e quindi un campo magnetico in modo tale che si possono distinguere successivamente

un ”polo nord” (flusso ”uscente” dal polo) e un ”polo sud” (flusso ”entrante” nel polo). La

distanza fra l’asse di un polo nord e di un polo sud misurata al traferro è pari al passo polare

89

τ la cui espressione è la seguente, dove R è il raggio interno dello statore e n il numero i

p

coppie di poli dell’avvolgimento: πR

τ = (9.1)

n p

L’andamento spaziale del campo di eccitazione lungo la periferia del traferro risulta sinusoidale.

Nella macchina a poli lisci ciò viene ottenuto distribuendo opportunamente le cave, mentre

nella macchina a poli salienti, sagomando le espansioni polari.

La figura 9.2 mostra parte del circuito magnetico di una macchina anisotropa, costituita

da due poli e relativa corona d’indotto. Come si vede, il traferro lungo l’espansione polare

non è costante passando dal valore minimo δ , in mezzeria dell’espansione polare, a quello di

0

valore circa doppio agli estremi dell’espansione polare. Al di fuori delle espansioni polari il

traferro assume valori estremamente elevati.

Figura 9.2: Traferro della macchina a poli salienti

Quando si pone in rotazione il rotore alla velocità angolare costante ω , il campo di

m

eccitazione, solidale col rotore, ruota al traferro alla velocità ω = ω . Il campo rotante cosı̀

c m

prodotto induce nell’avvolgimento trifase che è alloggiato nelle cave di statore un sistema

f em, sinusoidali nel tempo con pulsazione ω data dalla seguente

trifase simmetrico di

relazione: ω = n ω (9.2)

p m

Se lo statore alimenta un carico equilibrato, esso diventa sede di tre correnti di pulsazione

ω che producono un campo rotante statorico. L’avvolgimento induttore è percorso da una

corrente continua di valore i . Se il numero di spire per polo è n , la corrente i genera una

f f f

f mm pari a: H = n i

f f f

La f mm H genera un’induzione di valore massimo

f µ 0 n i

B = f f

f δ

Tramite accorgimenti vari, si fa in modo che la distribuzione spaziale dell’induzione sia

sinusoidale; tale distribuzione genera un flusso del polo

2τ L

Φ = B S = B

f f

π

Inoltre, se il numero di coppie polari dello statore è uguale al numero di coppie polari del

rotore, il campo rotante statorico ruota con velocità angolare ω . il campo rotante statorico

m

90

risulta dunque immobile rispetto al campo rotante rotorico, e quindi il campo risultante

totale è un campo che ruota al traferro con la velocità del rotore, da cui il nome di macchina

sincrona.

Nel funzionamento descritto, la potenza meccanica fornita all’albero della macchina per

vincere la resistenza della coppia elettromagnetica dovuta allo sfasamento fra campo statorico

e campo rotorico, viene trasformata, a meno delle perdite interne della macchina, in potenza

elettrica ceduta al carico collegato allo statore. La macchina funziona quindi da generatore e

viene chiamata alternatore.

Per alimentare l’avvolgimento viene utilizzata una sorgente esterna che viene collegata

mediante un collettore ad anelli. Quando il circuito di eccitazione è sostituito da magneti

permanenti, si ottiene un sistema indipendente da qualsiasi sorgente di potenza elettrica

esterna.

La prova a vuoto di una macchina sincrona consiste nel fare ruotare la macchina alla

velocità di regime, lasciando i morsetti di indotto aperti. Viene quindi misurata la tensione

concatenata di statore in corrispondenza a diversi valori della corrente di eccitazione. Viene

quindi tracciata la caratteristica a vuoto (vedi figura 9.3 di sinistra) che fornisce la tensione

ai morsetti di statore in funzione della corrente di eccitazione. A causa della saturazione del

materiale ferromagnetico la curva non è rettilinea.

La prova in cortocircuito di una macchina sincrona consiste nel fare ruotare la macchina

alla velocità di regime, con i morsetti di indotto in cortocircuito. Viene quindi misurata

la corrente in ciascuna fase di statore in corrispondenza a diversi valori della corrente di

la caratteristica di cortocircuito (vedi figura 9.3 a

eccitazione. Viene quindi tracciata

destra). Figura 9.3: Caratteristica a vuoto e in cortocircuito

9.1 Messa in rete della macchina

Si supponga di collegare l’avvolgimento statorico di una macchina sincrona ad una rete

trifase, già alimentata da altri alternatori. Si supponga inoltre che la potenza di questi

ultimi sia tale da poter considerare che il valore efficace e la frequenza della terna di tensioni

concatenate della rete siano indipendenti dalle correnti assorbite dalla macchina sincrona che

viene collegata (rete di potenza infinita).

Per potere effettuare correttamente il parallelo con la rete di potenza infinita è necessario

portare prima la macchina sincrona in un regime di funzionamento a vuoto, in cui le tensioni

91

concatenate presenti ai morsetti della macchina coincidano in valore efficace, frequenza e fase

con quelle della rete. Se cosı̀ non fosse infatti, alla chiusura dell’interruttore di collegamento

della macchina con la rete si svilupperebbero nello statore della macchina sincrona delle

correnti di valore elevato che potrebbero provocare la rottura della macchina stessa.

Con riferimento alla figura 9.4, la sequenza delle operazioni da eseguire per effettuare la

è la seguente:

messa in rete della macchina

1. La macchina viene portata in rotazione, a vuoto, alla velocità di sincronismo imposta

dalla frequenza della rete (n = 60f /p) dal motore primo M che in questo caso deve

fornire solo la coppia necessaria a vincere gli attriti interni della macchina, essendo

nulle sia la corrente di eccitazione che quella di armatura.

2. Viene alimentato l’avvolgimento di eccitazione con una tensione tale da ottenere ai

morsetti della macchina un sistema di tensioni concatenate avente una frequenza ed un

valore efficace coincidenti con quelli della rete (vengono misurati mediante i voltmetri V

e V’ ed i frequenzimetri f ed f ’). La macchina opera ancora a vuoto e quindi è ancora

il motore M che deve fornire la sola coppia necessaria per vincere gli attriti.

Si agisce sul motore M, con una regolazione fine della velocità, per portare tensioni

3. concatenate di rete e di macchina a coincidere sia come frequenza che come fase. A

tale scopo si utilizzano tre lampadine (che assorbono una corrente trascurabile, per cui

la macchina si può a tutti gli effetti considerare funzionante a vuoto) che si spengono

solo quando le due terne di tensioni concatenate coincidono in valore efficace e fase.

Quando le tre lampadine sono spente (in realtà le tre lampade si illumineranno e si

spegneranno con una frequenza tanto più bassa quanto più la frequenza della macchina

è prossima a quella della rete), viene chiuso l’interruttore T ed il parallelo è concluso.

Figura 9.4: Parallelo di una macchina sincrona con una rete di potenza infinita

Al termine delle operazioni di parallelo, la macchina sincrona è sı̀ collegata alla rete, ma

funziona ancora a vuoto, in quanto le f em indotte nelle fasi di statore uguagliano le tensioni

concatenate e quindi le correnti nelle fasi di statore risultano nulle. A partire da questa

92

condizione di funzionamento è possibile portare la macchina sincrona a funzionare come

generatore, erogando potenza sia attiva che reattiva alla rete, oppure come motore, assorbendo

potenza elettrica dalla rete (oppure, ancora, come compensatore sincrono, erogando solo

potenza reattiva alla rete).

9.1.1 Funzionamento da generatore

Se, tramite il motore M, viene fornita potenza meccanica al rotore, ha inizio un transitorio

in cui il rotore tende ad accelerare e le f em indotte nelle fasi di statore si sfasano rispetto

alle tensioni delle rete. Circola corrente nell’avvolgimento di statore e si crea una coppia

elettromagnetica resistente. La condizione di regime viene raggiunta quando la coppia

elettromagnetica resistente uguaglia la coppia meccanica fornita al rotore. La potenza

meccanica assorbita all’albero dalla macchina viene trasformata in potenza elettrica ed

erogata alla rete. E’ quindi possibile variare la potenza elettrica reattiva erogata alla rete,

semplicemente variando la corrente di eccitazione della macchina.

9.1.2 Funzionamento da motore

Se il motore M viene sostituito col carico meccanico che si vuole trascinare, al rotore della

macchina viene applicata una coppia resistente: ha inizio un transitorio in cui il rotore tende

a rallentare e le f em indotte nelle fasi di statore si sfasano rispetto alle tensioni delle rete.

Circola corrente nell’avvolgimento di statore e si crea una coppia elettromagnetica motrice.

La condizione di regime viene raggiunta quando la coppia elettromagnetica motrice uguaglia

la coppia meccanica resistente applicata al rotore. La potenza elettrica assorbita dalla rete

viene trasformata in potenza meccanica erogata all’albero della macchina.

Il principale ostacolo nella applicazione del motore sincrono consiste nel valore nullo della

coppia di spunto, e quindi nella necessità di avere comunque a disposizione un motore di

lancio. L’alternativa al motore di lancio esterno consiste nel sistema di autoavviamento.

Quest’ultimo consiste in una speciale gabbia di scoiattolo che si sistema sul rotore entro cave

ricavate sulle espansioni polari. Il motore si avvia quindi, una volto chiuso l’interruttore di

rete, come un motore asincrono (l’avvolgimento di eccitazione è chiuso in corto circuito su

una resistenza esterna). Giunti in prossimità della velocità di sincronismo, si eccita il rotore,

che viene accelerato da parte dell’avvolgimento statorico fino a raggiungere il sincronismo.

9.2 Equazioni del generatore sincrono

Consideriamo lo schema rettificato della macchina sincrona in figura 9.5 avente numero di

n ed attraversato dalla corrente di eccitazione continua i .

spire della matassa di eccitazione f f

Figura 9.5: Macchina sincrona rettificata

93

Dalla legge della circuitazione di H possiamo calcolare il campo magnetico H lungo un

f

percorso generico Γ di una qualsiasi linea di campo:

I Hdl = n i

f f

Γ ST RO

2H δ + H l + H l = n i

tr f e f e f f

f e f e

Dato che in assenza di saturazione la permeabilità del ferro è molto più grande di quella del

traferro, si ha che: ✚

B B

B ✚ ✚

ST RO

2δ + l + l n i

✚ ✚ f f

f e f e

µ µ µ

✚ ✚

0 f e f e

n i n i

∼ ∼

f f f f

, B

H µ

=

=

tr f 0

2δ 2δ

dove H rappresenta il campo magnetico generato dall’avvolgimento di rotore. In assenza di

tr

saturazione, la f mm serve essenzialmente per vincere la riluttanza del traferro. Dalla figura

9.6 possiamo osservare, in assenza di saturazione, il diagramma del campo, che è un onda

rettangolare, ed il relativo diagramma amper-fili.

Figura 9.6: Grafici del campo magnetico e amperefili

Ogni matassa percorsa da i genera un campo magnetico con andamento spaziale rettan-

f

golare. La somma delle forme d’onda rettangolari ha un andamento a gradini ed è riportata

in figura 9.7. A tal proposito si può notare nella stessa figura, che incrementando il numero

di matasse equivalenti il diagramma del campo magnetico si fa via via più simile ad un’onda

sinusoidale. Il valore del campo si può calcolare ora come:

4 q n i 4 N i

f f f f f

H = k → H = k

f f f f

π 2δ π 2δ

dove q è il numero di matasse ognuna con n spire ciascuna, k è il fattore di distribuzione

f f f

dell’avvolgimento di eccitazione, e N = q n è il numero di spire equivalenti. Il campo

f f f

magnetico finale è rappresentato in in figura 9.8.

Se il ferro è in saturazione, la f mm necessaria per vincere la riluttanza del ferro non è

più trascurabile anzi può diventare anche molto maggiore di quella necessaria ad attraversare

il traferro. In condizioni di saturazione si deve introdurre pertanto il fattore di saturazione

k . Il campo magnetico e l’induzione magnetica risultano quindi:

sat n i

n i

∼ f f

f f , B = µ

H = f 0

tr 2δk 2δk

sat sat

94

Figura 9.7: Incremento delle matasse

Figura 9.8: Campo magnetico di rotore di una macchina sincrona

9.2.1 Equazioni a vuoto

Durante il funzionamento a vuoto della macchina sincrona il movimento del rotore, messo

in rotazione dal Motore Primo, fa in modo che nella matassa di statore (supponiamo di avere

una fase sola) sia indotta una f.e.m. dovuta alla variazione del flusso generato dalla corrente

di eccitazione i . La f.e.m. indotta in un conduttore della matassa di statore a vuoto si

f

calcola dalla legge di Laplace: F e

= = vB → e = vB l

F̄ = qv̄ × B̄ → Campo elettrico = f f

q l

La f.e.m. totale indotta a vuoto nella matassa di statore formata da N conduttori su due

S

lati è: e = 2N vB l

s f

La f.e.m. indotta a vuoto nella matassa di statore è proporzionale al vettore induzione magne-

tica, che ha andamento rettangolare nello spazio, quindi tale f.e.m.i. ha andamento nel tempo

rettangolare. Nel caso di macchine sincrone a poli lisci per ottenere un’induzione magnetica

che meglio si avvicini ad una sinusoide si distribuiscono i conduttori dell’avvolgimento di

eccitazione in più matasse, collegate in serie, nelle cave rotoriche.

Durante la rotazione del rotore quindi il campo magnetico ruota solidalmente ad esso

(figura 9.9): med

Consideriamo ora, per semplicità, il valor medio del campo magnetico H come da

f

figura 9.10 e calcoliamo il flusso generato dall’avvolgimento di rotore.

2 4 π

k N

2 f f

Φ = B S = µ H S = µ i Dl

f med 0 f 0 f

π π π 2δ 2

µ

8 k N

0 f f i Dl

= f

π δ 4 95

Figura 9.9: Rotazione del campo magnetico di rotore

Figura 9.10: Valore medio e massimo del campo magnetico di rotore

Ricordando che vale in generale la seguente relazione per i flussi concatenati:

Φ = N Φ flusso generato dalla bobina 2 e concatenato con la bobina 1

12 1 2

Φ = N Φ flusso generato dalla bobina 1 e concatenato con la bobina 1

11 1 1

Quindi il flusso Φ generato dall’avvolgimento di rotore e concatenato con se stesso è pari a:

f f 2

µ

8 k N

0 f f

Φ = k N Φ = i Dl

f f f f f f

π δ 2

da cui possiamo ricavare il coefficiente di autoinduzione L dell’avvolgimento di eccitazione:

f f

2

k N Φ µ

8 k N

f f f f f

0

L = = Dl

f f i π δ 2

f

Per quanto riguarda invece lo statore e la sua terna trifasica possiamo ricavare le mutue

della terna con l’avvolgimento d’eccitazione:

8 k N k N

µ 0 s s f f

Φ = k N Φ = i Dl

Af s s f f

π δ 2 2 (9.3)

µ

8 k N k N

k f N Φ s s f f

s s f 0 Dl

=

L =

Af i π δ 2 2

f

In realtà esse rappresentano solo i valori massimi, infatti il campo magnetico del rotore

ruotando solidalmente con il rotore a velocità ω , investe la fase A con intensità periodica a

m

96

Figura 9.11: Angolo β di sfasamento tra asse del rotore e fase A

seconda dell’angolo β = ω t + β compreso, appunto, tra l’asse del rotore e l’asse di fase A

m 0

(figura 9.11).

Quindi possiamo scrivere in maniera più precisa le grandezze periodiche di flusso Φ e

Af

induttanza apparente L precedentemente definite:

Af

8 µ k N k N

0 s s f f i Dl cos β

Φ = k N Φ cos β = f

Af s s f π δ 2 2

8

k f N Φ µ k N k N

s s f 0 s s f f

L = L cos β = Dl cos β

cos β =

Af Af i π δ 2 2

f ◦

Da tali equazioni è possibile quindi notare come per β = 0 , sia Φ che L assumano valore

Af

Af

massimo (eq. 9.3), mentre quando β = 90 esse siano entrambe nulle.

Ragionamento analogo può farsi per le altre due fasi. Utilizzando le notazioni degli angoli

delle fasi come in figura 9.12 si ricava ricapitolando che:

Figura 9.12: Sfasamenti delle fasi A, B e C

µ

8 k N k N

0 s s f f

L = Dl cos β

Af π δ 2 2

µ 2

k N k N

8 0 s s f f Dl cos β − π

L =

Bf π δ 2 2 3

8 4

µ k N k N

0 s s f f

L = Dl cos β − π

Cf π δ 2 2 3

97

Come già accennato, il campo magnetico generato dall’avvolgimento di eccitazione H f

ruota solidalmente al rotore e pertanto ogni fase statorica osserva un campo magnetico

variabile H generato dalla corrente continua i :

r f

4 k N

f f

H = i cos (β − γ)

r f

π 2δ

dove γ è lo sfasamento di ogni fase (0 per A, 2π/3 per C, 4π/3 per B). Nel caso in cui

(β − γ) = 0, ovvero asse del rotore coincidente con asse della fase considerata, il campo

assume valore massimo: k N

4 f f i

H = H = f

r f π 2δ

9.2.2 Equazioni a regime

Il funzionamento a carico del generatore sincrono si ha quando:

• Nell’avvolgimento di rotore circola la corrente di eccitazione i

f

• Il rotore è messo in rotazione da un motore primo ad una velocità costante ω

m

• Le tre fasi dell’avvolgimento di statore sono collegate ad un carico elettrico (generalmente

rappresentato dalla rete elettrica).

Si è già visto come la circolazione della corrente di eccitazione i nell’avvolgimento di rotore

f

genera un campo magnetico con andamento sinusoidale lungo il traferro. Data la disposizione

◦ ), quando il motore

dell’avvolgimento trifase di statore (gli assi delle fasi di statore sono a 120

primo trascina il rotore in rotazione, nelle tre fasi di statore sono indotte tre f em sfasate

di 120 l’una rispetto all’altra. A vuoto le tre f emi sono: e , e , e e costituiscono una

0A 0B 0C

terna simmetrica di tensioni di valore efficace pari ad E che risulta proporzionale al vettore

0

induzione B generato da i . A carico le tre f emi causano la circolazione di tre correnti

f f

sinusoidali nelle tre fasi di statore: i , i , i .

A B C

i = I cos (ωt + ψ − ϕ)

A M

2

i = I cos ωt + ψ − ϕ − π

B M 3

4 π

i = I cos ωt + ψ − ϕ −

C M 3 ◦

Queste correnti costituisco una terna di correnti sfasate di 120 e di ampiezza pari ad I .

M

f mm quella dovuta alla corrente di eccitazione e quella dovuta alle

A carico esistono due

tre correnti di statore. Vedremo come ogni corrente di statore produce un campo magnetico

pulsante e che la somma di questi tre campi genera un campo magnetico rotante ad una

velocità pari alla pulsazione delle correnti di statore.

Il campo magnetico generato dalla fase A di statore percorso dalla corrente alternata i è:

A

k N k N

4

4 s s s s

i cos (θ − γ) = I cos (ωt + ψ − ϕ) cos θ

H =

A A M

π 2δ π 2δ

dove ω è la pulsazione della terna trifasica, ψ è la fase della tensione, ϕ è il ritardo della

θ = ω t + θ è lo sfasamento tra asse rotore ed asse della fase, γ è lo sfasamento

corrente, m 0

tipico della fase (che per la fase A è nullo). L’ampiezza del campo magnetico generato dalla

98

fase A ha una distribuzione sinusoidale nello spazio, varia al variare di i ed è funzione del

A

tempo: dunque è un campo magnetico pulsante.

In particolare si osserva che per cos θ = 1, ovvero asse rotore allineato con l’asse della

max

H = H , mentre nel caso di cos θ = 0 , ovvero assi in quadratura, il campo

fase, si ha A A

H = 0. Facendo un ragionamento analogo sulle altre due fasi, possiamo riassumere che:

A k N k N

4

4 s s s s

i cos (θ − γ) = I cos (ωt + ψ − ϕ) cos θ

H = A M

A π 2δ π 2δ

k N k N

4 2 2

4 s s s s

i cos (θ − γ) = I cos ωt + ψ − ϕ − π cos θ − π

H = B M

B π 2δ π 2δ 3 3

4 k N k N

4 4 4

s s s s

H = i cos (θ − γ) = I cos ωt + ψ − ϕ − π cos θ − π

C C M

π 2δ π 2δ 3 3

La somma dei tre campi magnetici pulsanti è pari a: 4

3 k N

s s

H cos (ωt + ψ − ϕ − θ) con H = I

H = H + H + H =

tot A B C M M M

2 π 2δ

Questo campo magnetico di statore, somma dei tre campi magnetici pulsanti delle fasi A,B e

C, è un campo magnetico rotante con velocità ω pari alla pulsazione delle correnti di statore.

In particolare si osserva che per cos (ωt + ψ − ϕ − θ) = 1, ovvero quando il vettore campo

j(ωt+ψ−ϕ)

magnetico è allineato e solidale sia con il vettore della corrente di statore = I e

ī M

αβ

che con l’asse del rotore (θ = ωt+ψ−ϕ che è proprio la fase della corrente bifasica equivalente),

32

max

si ha H = H = H .

tot M

tot ′

Figura 9.13: Allineamento del campo statorico con ī e f f

αβ

La presenza di campi magnetici pulsanti statorici genera dei flussi (con relative induttanze)

in ogni fase che, facendo l’esempio per la sola fase A, sono:

• Flusso generato dalla fase A dell’avvolgimento di statore

k N

2 4 π

2 s s

µ H S = µ i Dl

Φ = B S = 0 A 0 A

A med π π π 2δ 2

8 µ k N

0 s s

= i Dl

A

π δ 4

• Autoflusso generato dalla fase A e concatenato con la stessa fase A

2

8 µ k N

0 s s

Φ = k N Φ = i Dl

AA s s A A

π δ 2

99

• Autoinduttanza, somma di un’induttanza di magnetizzazione L e di una di dispersione

Am

L dis 2

µ

8

Φ k N

0

AA s s

+ L =

L = L + L = Dl + L

dis

AA Am dis dis

i π δ 2

A

Mutua induttanza tra la fase A e la fase B dovuto al flusso generato da i che si

• A

concatena con B 2

µ k N 1

2

8 0 s s π = − L

Dl cos

L =

AB Am

π δ 2 3 2

• Mutua induttanza tra la fase A e la fase C dovuto al flusso generato da i che si

A

concatena con C 2

µ 1

k N 4

8 0 s s π = − L

Dl cos

L = Am

AC π δ 2 3 2

9.2.3 Circuito equivalente

Nel funzionamento a carico della macchina sincrona, il campo magnetico risultante, e

quindi il flusso, sono variati rispetto al funzionamento a vuoto in quanto le correnti statoriche

al campo induttore modificandolo. Si parla quindi di reazione di indotto. In

reagiscono

ogni fase di statore si ha una f emi dovuta ad un fenomeno di autoinduzione con la fase

stessa, ad un fenomeno di mutuainduzione con le altre due fasi di statore e ad un fenomeno

di mutuainduzione con l’avvolgimento di eccitazione.

Tenendo in conto di tale fenomeno si procede ora al calcolo della f emi nella fase A (in

maniera analoga si potranno ricavare quelle nelle altre due fasi) apllicando la legge di Faraday

(eq. 2.4):

d

e = − L i + L i + L i + L i cos β

A AA A AB B AC C Af f

dt

1 1

d (L i + L i ) − L i − L i + L i cos β

= − Am A dis A Am B Am C Af f

dt 2 2

3

d L i + L i + L i cos β

= − Am A dis A Af f

dt 2

d L i + L i + L i cos β

= − m A dis A Af f

dt

d

= − L i + L i cos β

s A Af f

dt

dove si è indicato con L l’induttanza di magnetizzazione apparente (dato che tiene conto

m

delle mutue), e con L l’induttanza sincrona.

s

Riassumendo quindi le f emi nelle tre fasi sono:

d L i + L i + L i cos β

e = −

 m A dis A Af f

A

 dt

 2

d

 L i + L i + L i cos β − π

e = − m B dis B Af f

B dt 3

 4

d

 L i + L i + L i cos β − π

e = −

 m C dis C Af f

C dt 3

Sommando membro a membro, ponendoci in condizione di funzionamento a regime ω = ω

m

(vedi paragrafo 9.2.6 sul sincronismo della macchina), trasformando l’operatore deivata in

100

Figura 9.14: Schema della macchina sincrona

e applicando la trasformata di Park, si ottiene il vettore ē della forza elettromotrice

jω αβ

indotta nello statore nel sistema αβ, che è pari a (vedi anche figura 9.17):

j(ωt+β )

j(ωt+β )

ē = −jω (L + L ) ī ī + L i e

+ L i e = −jω L 0

0

αβ m dis αβ Af f αβ Af f

s

| |

|

{z } {z } {z }

k N Φ k N Φ k N (Φ +Φ )

s s s s

s,αβ f,αβ s s s,αβ f,αβ

ē = ē + ē + ē

αβ m,αβ dis,αβ f,αβ

dove: j(ωt+ψ−ϕ)

• ī = I e è il vettore rotante rappresentativo delle correnti di statore

αβ M

• β = ωt + β l’angolo di sfasamento tra l’asse di rotore e la fase A

0

• ē è il vettore della f emi nello statore che tiene conto della reazione d’indotto

m,αβ

• ē è il vettore della f emi nello statore che tiene conto del flusso disperso

dis,αβ

• ē è il vettore della forza elettromotrice rotazionale.

f,αβ

• k N Φ è il vettore del flusso di statore concatenato dallo statore

s s s,αβ

• k N Φ è il vettore del flusso di rotore concatenato dallo statore

s s f,αβ

• k N (Φ + Φ ) è il vettore totale del flusso concatenato dallo statore

s s s,αβ f,αβ

Ma per la legge di Kirchoff, in riferimento alla figura 9.14, si possono anche scrivere le

seguenti equazioni dei circuiti ed il relativo vettore ē nel sistema equivalente αβ:

αβ

 e = v + Ri

A A A

 e = v + Ri → ē = v̄ + Rī

B B B αβ αβ αβ

 e = v + Ri

C C C

j(ωt+ψ)

con v̄ = V e vettore equivalente della tensione.

αβ M 101

Figura 9.15: Circuito equivalente valido in zona lineare

9.2.4 Circuito equivalente fasoriale

π 1

Assumendo arbitrariamente l’angolo ψ = − possiamo cercare di comporre le due rappre-

2

sentazioni valide per le f emi per ottenere, alla fine della dimostrazione, una rappresentazione

in termini di fasori: 

j(ωt+β )

ē = −jω L ī + L i e

 0

αβ s αβ Af f

ē = v̄ + Rī

 αβ αβ αβ

spostandoci in un sistema di riferimento solidale al rotore dq semplicemente moltiplicando

)

( π

ωt−

−j

tutti i membri per e , e semplificando poi l’espressione ottenuta, si ricavano le due

2

espressioni del vettore ē :

dq

( ) )

(

π π

ωt− β +

−j −j

−jϕ

ē e = −jω L I e + L i e 0

 2 2

αβ s M Af f

)

( π

ωt−

−j −jϕ

 = V + RI e

ē e 2 M M

αβ

dove i termini dei membri a sinistra rappresentano proprio il vettore equivalente ē nel nuovo

dq

dq. Uguagliando i membri a destra e dividendo entrambi i membri per

sistema di riferimento

√ 2 si ottiene: I V

I

i ( )

π M M

M

f β +

−j −jϕ −jϕ

√ √ √ √

e e + jωL e +

= R

−jωL 0 2 s

Af 2 2 2 2

che rappresenta proprio l’equazione del circuito equivalente rappresentato in figura 9.16 in

termini di fasori: ¯ ¯

Ē = R I + jωL I + V̄

f s

dove:

• Ē è il fasore della forza elettromotrice rotazionale

f

¯

• I è il fasore della corrente di statore

¯

• R I è la caduta di tensione nell’avvolgimento statorico

¯

• jωL I è la caduta di tensione per magnetizzazione

s

è il fasore della tensione ai morsetti (come già detto, l’asse d è stato scelto in modo

• V̄

che V̄ sia solo reale). 102

Figura 9.16: Circuito equivalente in termini di fasori valido in zona lineare

Possiamo disegnare il circuito equivalente del generatore asincrono (figura 9.16). ī

Il fasore può essere anche definito in termini del fasore della corrente di eccitazione f

f ◦

(che risulta in anticipo di 90 rispetto ad Ē ):

f

i L

)

( π

f Af

j β +

√ √

ī = ī

e → Ē = −jω

0 2

f f

f

2 2

Di seguito viene riportato lo schema della macchina (figura 9.17):

Figura 9.17: Schema della macchina sincrona con ψ = −π/2 nei piani alphaβ e dq

1 In questo caso è stato scelto in modo tale che il fasore di tensione sia completamente reale =

V̄ V̄

√ 2v̄ = V , vedi schema vettoriale di figura 9.17

dq M 103

9.2.5 Potenza elettrica

3 ∗

P = ℜ ē · ī

e αβ αβ

2

3

π

π +ϕ) j(ω t+β )

j(ωt− −j(ωt− −ϕ)

= · I e

− jω L i e

ℜ −jωL I e m 0

2 2

m Af f

s M M

2 ✘

✘ o

n

3 ✘

✘✘✘ π +ϕ)

2 0 j(ω t+β −ωt+

−jωL I e − jω L i I e

= m 0

✘ 2

s m Af f M

M

2

3

π

π j(ω t+β +ϕ)

−ωt+

−j ω L i I e

ℜ e

= m 0

2 2

m Af f M

2 o

n

3 π

π ✓

+ +ϕ)

j(ω t+β −ωt−

ℜ ω L i I e

= m 0 2 2

m Af f M

2 h i

3 ω L i I cos (ω − ω)t + β + ϕ

= m Af f M m 0

2

Si può quindi notare che solo se ω = ω si ha energia elettrica scambiata in un periodo, in

m

tal caso la potenza risulta:

3 i I

3 f M

√ √ √

P = ω L i I cos β +ϕ = 3ω L cos β +ϕ

ω L i I cos β +ϕ =

e m Af f M 0 m Af 0

m Af f M 0

2 2 2 2 2

P = 3E I cos(β + ϕ)

e f 0

¯ 2

Ē I.

con (β + ϕ) angolo tra i fasori e Se trascuriamo le perdite per effetto Joule RI , le

f

0

perdite nel ferro e quelle per attrito e ventilazione possiamo scrivere che:

P = 3E I cos(β + ϕ) 3V I cos(ϕ)

=

e f 0

¯

con (ϕ) angolo tra i fasori V̄ e I.

9.2.6 Condizione di sincronismo

Affinché l’alternatore eroghi agli utenti una potenza elettrica mediamente non nulla deve

essere rispettata la condizione di sincronismo, ovvero la velocità ω a cui ruota il rotore

m

deve coincidere con la pulsazione ω delle grandezze elettriche v̄ e . Dividendo per 2π si

αβ

αβ

ottiene: ω f

ω rete

m = =

ω = ω →

m 2π 2π n p

Nel nostro caso n = 1:

p ω

m

50Hz = 2π

dunque il rotore deve ruotare a 50 g/s (3000 g/min) dato che la frequenza in Europa è fissa e

pari a 50Hz. L’incremento del numero di paia di poili n permette di ridurre le eccessive

p

velocità (come in questo caso) che generano sollecitazioni centrifughe eccessive sulle scarpe

polari, oltre che di ridurre l’efficacia degli isolanti (perforamento del dielettrico).

9.2.7 Coppia sviluppata

La coppia sviluppata dal generatore sincrono può calcolarsi come:

P P i I I π

i

∼ ∼

m e f M M

f

√ √ √ √

C = 3L + β + ϕ

cos β + ϕ = 3L sin

= =

e Af 0

0 Af

ω ω 2

2 2 2 2

m m 104

¯

con (π/2 + β + ϕ) angolo tra L e ovvero l’angolo compreso tra i due campi

ī I,

0 Af f

magnetici rotanti H e H . Per far si che si ottenga coppia massima è necessario che

r tot

sin(π/2 + β + ϕ) = 1, ovvero che (β + ϕ) = 0, ottenendo cosı̀ la:

0 0 3

max

C = L i I

Af f M

e 2

Quindi si ha coppia massima quando i campi magnetici di rotore e statore si trovano in

quadratura (a 90 ) 105

Capitolo 10

Motore Sincrono in dq

Ai fini del progetto del sistema di controllo e della stima dei parametri di macchina, è più

utile un modello matematico nel sistema di riferimento dq di rotore (d: asse polare, q: asse

interpolare). Figura 10.1: Circuito equivalente dq

Questo riferimento è rotante alla velocità elettrica ω rispetto allo statore. Le equazioni

r

di macchina in componenti di fase A, B, C, possono essere trasformate in equazioni in

componenti dq utilizzando la matrice di trasformazione di Park. Scriviamo quindi le equazioni

delle tensioni e correnti statoriche del motore sincrono nel sistema di riferimento dq.

dλ̄ dq + jω λ̄

v̄ = v + jv = Rī + r dq

dq d q dq dt

 dλ d

v = Ri + − ω λ

 d d r q

dt (10.1)

dλ q

 v = Ri + + ω λ

 q q r d

dt

dove:

• λ = L i +Ψ Flusso concatenato all’asse statorico polare d, e dove Ψ rappresenta

d d d P M P M

il flusso prodotto dai magneti permanenti. In caso di macchina ad avvolgimenti rotorici

Ψ = L i

P M Af f

• λ = L i Flusso concatenato all’asse statorico interpolare q

d q q

e L Sono le rispettive induttanze sincrone secondo i rispettivi assi, ognuna somma

• L q

d

di un induttanza di dispersione e di una di magnetizzazione.

106

Figura 10.2: Circuiti equivalenti: lungo l’asse diretto d e in quadratura q

Nel caso di isotropia magnetica (macchina a poli lisci) risulta che L = L = L e

d q

l’equazione 10 può riscriversi come:

d

v̄ = Rī + L ī + jω Ψ (10.2)

+ jω

dq dq dq r P M

r

dt

Il cui circuito equivalente viene riportato in figura 10.3:

Figura 10.3: Circuito equivalente in dq con isotropia magnetica

In condizioni di regime simmetrico sinusoidale ponendoci nel sistema dq, rotante alla

= ω ), tutti i fasori risultano essere stazionari con ampiezza

velocità di sincronismo (ω

r s

costante. Ne consegue pertanto che l’operatore derivata è nullo. In tale situazione la 10.2

diventa: ¯ ¯

v̄ = R I + jω L I + jω Ψ (10.3)

dq dq s dq s P M

Che nel caso di macchina sincrona convenzionale con avvolgimento di eccitazione, Ψ =

P M

L f i , assume la forma:

A f ¯ ¯

v̄ = R I + jω L I + jω L i

dq dq s dq s Af f

10.1 Espressione della coppia

Dall’equazione 10 si deduce che la potenza meccanica è sostanzialmente dovuta al termine

contenente la velocità angolare elettrica del rotore. Quindi:

3 ∗

P = ℜ jω λ̄ · ī

m r dq dq

2

da cui si può ricavare l’espressione della coppia elettromagnetica:

3

3 = (10.4)

(L i + Ψ )i − L i i Ψ i + (L − L )i i

n n

C = d d P M q q d q P M q d q d q

p p

e 2 2 √ ¯

Ricordando che le correnti in dq possono scriversi anche come 2 · I :

dq

√ √

i = 2I cos(δ) , i = 2I sin(δ)

d q

107

allora l’equazione di coppia può scriversi come:

3 2

Ψ

C = n 2I sin(δ) + (L − L )I sin(2δ)

P M

e d q

p

2

con δ l’angolo tra il vettore rotante della corrente di statore e l’asse d del magnete. Per avere

una coppia elettromagnetica mediamente non nulla a qualsiasi velocità di rotore, occorre

alimentare le fasi di statore con tensioni di pulsazione ω (t) = ω (t) in modo che l’angolo di

s r

coppia sia costante. Una macchina sincrona trifase alimentata con tensioni aventi pulsazione

pari alla velocità angolare elettrica di rotore si dice autosincrona e permette di variare la

velocità del motore in base alla pulsazione di rete imposta tramite, per esempio, un dispositivo

inverter.

L’espressione 10.5 evidenzia in maniera semplice la dipendenza della coppia elettromagne-

tica dalle componenti della corrente di armatura lungo gli assi diretto i ed in quadratura i .

d q

In particolare mostra che la coppia elettromagnetica in un PMSM è composta da due termini:

il primo di essi rappresenta il contributo generato dall’interazione tra il flusso dei magneti

permanenti e la componente secondo l’asse q della corrente statorica; esso è prodotto dalla

tendenza dei magneti ad allinearsi con l’asse della forza magneto-motrice di statore e, per

questo motivo, prende il nome di coppia di allineamento di campo; il secondo termine

è legato alla salienza del circuito magnetico percorso dal flusso ed è denominato coppia

di riluttanza. Nei SPMSM il termine di riluttanza è praticamente assente (L = L ) e

d q

l’espressione 10.5 si semplifica ulteriormente in:

3

C = n Ψ i (10.5)

e p P M q

2

della macchina sincrona a magneti permanenti La (1.37) mostra come sia possibile

controllare la coppia elettromagnetica agendo esclusivamente sulla componente in quadratura

i della corrente statorica, dato che il flusso prodotto dai magneti si può considerare costante.

q

Inoltre si può osservare che, a parità di corrente statorica, la coppia massima si ottiene per

un angolo di coppia θ = 90 , cioè quando la componente i è nulla.

d

10.2 Modello di un PMSM

Le equazioni del motore sincrono PMSM (Permanent )

Magnet Synchronous Motor

pertanto possono essere scritte nella seguente forma classica, e con l’operatore di Laplace:

 

di v + ω L i

d d r q q

= −Ri + ω L i + v

L

  i =

 

d r q q d

d d

 

dt L s + R

  d

 

 

di

  v − ω L i − ω Ψ

q

  q r d d r P M

= −Ri − ω L i − ω Ψ + v

L

  i =

 

q r d d r P M q

q q

 

dt L s + R

 

  q

 

r

3

J = n (C − C )

p e r Ψ i + (L − L )i i

n

C =

dt PM q d q d q

p

e

  2

 

 

3

  n

  p

C = Ψ i + (L − L )i i

n

  (C − C )

ω =

e P M q d q d q

p

  e r

r

2

  Js

 

 

  ω

  r

r

  θ =

= ω

  r

r s

dt (10.6)

Il modello del motore sincrono può quindi essere rappresentato come in figura 10.4 per

n = 1.

p 108

Figura 10.4: Modello del motore PMSM in dq

Disaccoppiando gli assi d e q, ovvero ponendo:

( ∗

v = v − ω L i

d r q q

d (10.7)

v = v + ω L i

q r d d

q

le equazioni 10.6 divengono:

 ∗

v d

i =

 d

 L s + R

 d

 ∗

 v − ω Ψ

r P M

q (10.8)

i =

q L s + R

 q

3

 Ψ i + (L − L )i i

n

C =

 P M q d q d q

p

e 2

il cui relativo modello è riportato in figura 10.5.

Figura 10.5: Modello del motore PMSM in dq con disaccoppiamento

109

10.3 Modello del SPMSM ∗

Dalle equazioni 10.8 si vede che, ponendo la tensione di comando v = 0 per ottenere

d

i = 0, la tensione secondo l’asse q, necessaria per il controllo della velocità di rotore,

d

nell’ipotesi di funzionamento a vuoto (C = 0) e macchina isotropa (L = L ) a magneti

r d q

superficiali SPMSM (Surface ), è:

Permanent Magnet Synchronous Motor

∗ ∗

v = ω Ψ P M

q

ed il modello di figura 10.5 può semplificarsi con quello di figura 10.6, che è del tutto simile a

quello di un motore a cc a magneti permanenti.

Figura 10.6: Modello del motore SPMSM in dq semplificato

10.3.1 Indebolimento del flusso

Se volevssimo lavorare a velocità superiore a quella nominale, su un modello come quello

di figura 10.6, occorre indebolire il flusso secondo l’asse d. Questo è possibile imponendo una

i < 0. Sostituendo solo la prima delle equazioni 10.8 nelle equazioni elettriche 10.6, si ha:

d  ∗

v d

 i =

 d

 L s + R

 d

 v − ω (L i + Ψ

q r d d P M (10.9)

i =

q L s + R

 q

 3

 n Ψ i

C =

 p P M q

e 2

Le tensioni di comando risultano essere quindi:

( ∗ ∗

v = Ri

d d

∗ ∗ ∗

v = ω (Ψ + L i )

P M d

q r d

ed il diagramma a blocchi può essere cosı̀ modificato:

10.3.2 Controllo di coppia

Disaccoppiando gli assi d e q e compensando anche la f cem, e cioè ponendo:

( ∗

v = v − ω L i

d r q q

d

∗ + ω L i + ω Ψ

v = v

q r d d r P M

q 110

Figura 10.7: Modello del motore SPMSM in dq con indebolimento del flusso

nel sistema di equazioni 10.6 si ottiene:

 ∗

v d

 i =

 d

 L s + R

 d

 ∗

 v q

i =

q L s + R

 q

 3

 n Ψ i

C =

 p P M q

e 2

È evidente che un controllo di coppia può essere effettuato ponendo:

C 2R

e

∗ ∗ ∗

= R

v = Ri = C

q q e

3 3n Ψ

n Ψ p PM

p PM

2

Un modello che prevede questo tipo di controllo è riportato in figura 10.8.

10.3.3 Adozione del controllore PI nel controllo di coppia

Proviamo a disegnare il diagramma del modello adottando questa volta un controllo di

tipo proporzionali.integrale (PI). Nella figura 10.10 la corrente i e i vengono prelevate dal

d q

motore (sono state omesse per semplicità visiva). Nella stessa figura non viene misurato v C

perchè viene utilizzato come forzante per equilibrare la terna simmetrica (v + v + v = 0).

A B C

111


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Di seguito potete trovare l'anteprima della mia dispensa di Macchine ed Azionamenti Elettrici (lezioni sostenute dalla Prof. Salvatore nel corso 2017/2018) di circa 130 pagine completamente riorganizzato, ampliato, commentato e riscritto interamente a macchina da me. Il testo è anche interattivo e quindi potrete navigare velocemente tra le varie sezioni e i vari diagrammi.

Gli appunti non hanno bisogno di alcun materiale complementare, nè della prof, nè di altre persone e vi potranno far superare l'esame in sole due settimane con un voto Eccellente. Il testo accompagna il lettore ad una comprensione totale degli argomenti, ed anche coloro che peccano di memoria potranno arrivare alla creazione di controlli complessi con il solo ragionamento. Inoltre il testo risulterà valido anche per la profonda comprensione iniziale del successivo corso di Controlli Automatici del Prof. Naso.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria meccanica
SSD:
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher gaudio90 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Macchine ed azionamenti elettrici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Bari - Poliba o del prof Salvatore Nadia.

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