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Algebra e Calcolo

Appunti di Algebra lineare basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Barozzi dell’università degli Studi Uninettuno - Uninettuno, facoltà di Ingegneria, Corso di laurea in ingegneria informatica. Scarica il file in formato PDF!

Esame di Algebra lineare docente Prof. G. Barozzi

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ESTRATTO DOCUMENTO

Rango di una matrice:

Rango di una matrice:

dim L (R , …, R )

1 m

=

dim L (C , …, C )

1 n

=

Rango di A = ρ(A)

La dimensione degli spazi vettoriali di righe e colonne è la stessa, e si chiama rango della matrice.

*20-APPUNTI FOGLIO-2*

Matrice ridotta per righe:

♦ ♠ ♦ ♦ ♦

♠ ♦ ♦ ♦

0 ♠ ♦ ♦

A = 0 0 ♦ ♠

0 0 0 ♦

0 0 0 0

♠ = elemento speciale (≠0)

♦ = elemento qualsiasi

0 = zero

Se una matrice è ridotta per righe, per calcolare il rango della matrice, si guardano le righe non nulle,

questo è il rango della matrice, ovvero il numero delle righe non nulle.

Se una matrice è ridotta per colonne, per calcolare il rango della matrice, si guardano le colonne non nulle,

questo è il rango della matrice, ovvero il numero delle colonne non nulle.

Trasformazioni elementari (sulle righe):

E1: R a*R , con a ≠ 0

i j



E2: R R , con i ≠ j

i j

E3: R a*R + a*R , con a ≠ 0, i ≠ j

i i j

Non cambiano lo spazio delle righe e quindi il rango ρ(A).

È permesso fare alcune operazioni, per trasformare una matrice qualsiasi in una matrice ridotta

conservando il rango:

-prendere una riga e moltiplicare tutti i suoi elementi per un numero a diverso da 0.

-prendere una riga R e una riga R e scambiarle tra loro

i j

-prendere una riga sommarla con un multiplo di un’altra riga, togliere la riga di partenza e scrivere come

riga nuova quest’ultima

Tutte queste operazioni elementari non cambiano lo spazio delle righe, e quindi il rango della matrice.

Si arriva così ad una matrice ridotta per righe, e si può calcolare il rango, che rimarrà invariato rispetto a

quella di partenza.

*20-APPUNTI FOGLIO-3*

Dipende dalla matrice se utilizzare la riduzione per righe o colonne, dipende soprattutto dal numero di

righe e colonne.

Avendo n vettori e mettendoli in una matrice, se si calcola il rango della matrice, si calcola anche lo spazio

delle righe, che è lo spazio vettoriale di questi n vettori generatori.

v = (a , …, a ) a … a

1 11 1n 11 1n

……………………… A = … … …

v = (a , …, a ) a … a

m m1 mn m1 mn

Es.

4

R spazio vettoriale

W sottospazio vettoriale

3 vettori: (1, 1, 2, 1) (2, 1, 0, 3) (4, 4, 1, 0)

Si ottiene una matrice:

1 1 2 1 1 1 2 1

1 1 2 1 R – 7R

3 2

2R – R

3 1

2 1 0 3 2 1 0 3

2 1 0 3

4 4 1 0 -7 0 0 -22

7 7 0 -1

ρ(W) = 3

W formato con tre vettori generatori.

Matrici con m righe ed n colonne:

Rango = dim (spazio delle righe) = dim (spazio delle colonne).

Matrici ridotte per righe.

Rango = numero delle righe non nulle.

Dimensione di un sottospazio Rango di una matrice.

Matrici le operazioni:

Somma di matrici:

*21-APPUNTI FOGLIO-1*

Proprietà della somma:

A + B = B + A (Commutativa)

A + (B + C) = (A + B) + C (Associativa)

A + 0 = 0 + A = A (Esiste la matrice nulla)

A + (-A) = A – A = 0 (Esiste la matrice opposta)

Prodotto di un numero per una matrice:

*21-APPUNTI FOGLIO-1*

Proprietà del prodotto di un numero per una matrice:

a(A + b) = aA + aB (Associativa)

(a + b)A = aA + bA (Distributiva)

1A = A

(ab)A = a(bA) = b(aA)

Prodotto di matrici:

♦ ♣ ♠ ◙ ◙ ♥

◙ ◙ ◙ ◙ ◙ ○

C = AB = *

◙ ◙ ◙ ◙ ◙ ®

♦♥ ♣○ ♠®

c = + +

13

Per la moltiplicazione tra matrici, si moltiplicano tutti gli elementi della riga che ci interessa con tutti gli

elementi della colonna che ci interessa, si moltiplicano elementi con lo stesso indice(es. primo elemento

riga, con primo elemento colonna); poi si sommano i risultati ottenuti. Il prodotto di matrici è possibile

quando la prima matrice ha su ogni riga tanti elementi quanti ne ha la seconda matrice per ogni colonna.

*21-APPUNTI FOGLIO-2*

Il numero di righe e colonne della matrice ottenuta dal prodotto, ove questo sia possibile, si ottiene

prendendo come righe il numero di righe della prima matrice, e come colonne il numero di colonne della

seconda matrice.

Esempio:

Cibo A: 30% grassi 10% carboidrati 10% proteine

Cibo B: 20% grassi 20% carboidrati 5% proteine

Cibo C: 15% grassi 15% carboidrati 10% proteine

100 grammi di Cibo A = (30, 10, 10)

100 grammi di Cibo B = (20, 20, 5)

100 grammi di Cibo C = (15, 15, 10)

30 20 15

A = 10 20 15

10 5 10

colonne = cibi

Quanti grassi, carboidrati, proteine ingerisco se mangio 120 grammi di A, 50 grammi di B, 150 grammi di C?

30 20 15 1,20 68,5

10 20 15 * 0,50 = 44,5

10 5 10 1,50 29,5

Occorre fare il prodotto righe per colonne delle due matrici.

Proprietà del prodotto di matrici:

A(BC) =(AB)C (ASSOCIATIVA)

A(B+C) = AB +AC (DISTRIBUTIVA)

AI = IA = A

Annullamento del prodotto:

A ≠ 0 B ≠ 0 ma AB = 0 (talvolta)

*21-APPUNTI FOGLIO-3*

Esempi di riduzione di matrice con parametro:

A = 1 1 h

2 1 3

Riduzione:

B = 1 1 h

1 0 3-h

ρ = 2 (rango)

Altro esempio:

C = 1 1 h

1 1 3

Riduzione:

B = 1 1 h

0 0 3-h

Due casi:

h = 3 ρ = 1 (rango)

h ≠ 3 ρ = 2 (rango)

Matrici m x n:

-Somma

-Prodotto di un numero per una matrice

-Prodotto di due matrici righe per colonne: A(m x p) per B(p x n) = C(m x n)

Matrici l’inversa e la trasposta:

Matrice inversa:

*22-APPUNTI FOGLIO-1*

Se esiste la matrice inversa di una matrice, si deve poter moltiplicare tra loro le due matrici, e ottenere

come risultato una matrice identica.

Matrice trasposta:

Matrice trasposta:

a … a

11 1n

A = … … …

a … a

m1 mn

m righe, n colonne a … a

11 m1

t

TRASPOSTA di A = A = … … …

a … a

1n mn

n righe, m colonne

Si scambiano le righe con le colonne.

Esempi:

Es.-1: 4 5 6

A = 7 8 9

0 4 3

4 7 0

t

A = 5 8 4

6 9 3

Es.-2: 1 0 7 4

A = 3 3 2 2

1 3

t

A = 0 3

7 2

4 2

Proprietà della trasposta:

t t t

(A + B) = A + B

t t t

(AB) = B A

t t

(aA) = a A

t t t

(AB) = ( B)( A)

Il prodotto di matrici non è commutativo. La trasposta del prodotto di due matrici è il prodotto delle due

matrici trasposte ma cambiate di ordine (ordine inverso), perché non vale la proprietà commutativa sul

prodotto di matrici.

Matrice simmetrica:

♦ ♣

a

♦ ♠

b

♣ ♠ c

Se una matrice coincide con la sua matrice trasposta si chiama simmetrica. Una matrice simmetrica ha sulla

diagonale numeri a piacere, invece una matrice simmetrica ha gli elementi simmetrici rispetto alla

diagonale, eguali tra loro. Le matrici simmetriche devono essere quadrate.

Matrice antisimmetrica:

♦ ♣

0

-♦ ♠

0

-♣ -♠ 0

t

A = -( A)

Se una matrice è opposta con la sua matrice trasposta si chiama antisimmetrica.

Matrici ortogonali:

Matrice ortogonale: t -1

A quadrata ortogonale: A = A (inversa e trasposta coincidono)

Una matrice ortogonale è quadrata, e la sua trasposta deve coincidere con l’inversa. Le matrici ortogonali

sono particolari matrici quadrate invertibili tali che l’inversa è la matrice trasposta.

A = cosα -sinα è ortogonale

sinα cosα

*22-APPUNTI FOGLIO-2*

-1 -1

Inversa: AA = A A = I (matrice identica)

t

A simmetrica: A = A t

A antisimmetrica: A = - A

Il concetto di applicazione lineare:

Applicazione = funzione

Applicazioni lineari – proprietà:

f: V W applicazione lineare: f(v + v’) = f(v) + f(v’)

f(av) = a f(v)

f(0 ) = 0

V W

f(-v) = -f(v)

Prima proprietà: Funzione f(v) somma in V, funzione f(v’) somma in W.

Seconda proprietà: av prodotto relativo a V, a f(v) prodotto relativo a W.

Quarta proprietà: L’opposto f(-v) è in V, l’opposto -f(v) è in W.

Nelle applicazioni lineari si conserva la somma e il prodotto per un numero.

*23-APPUNTI FOGLIO-1*

Applicazioni lineari – proprietà:

f: V W

 ∈

f(v) = 0 v Ker f

W

 ∈

w = f(v) w Im f

*23-APPUNTI FOGLIO-2*

L’immagine della funzione è l’insieme di tutte le coppie che si ottengono applicando alla coppia la funzione,

e ottenendo il risultato corretto della funzione.

f: V W lineare f(v + w) = f(v) + f(w)

f(av) = a f(v)

 

f(v) = 0 v Ker f , f iniettiva Ker f = {0 }

W V

 

w = f(v) w Im f , f suriettiva Im f = W

Applicazioni lineari e matrici:

Matrice associata ad una applicazione lineare:

f(x, y, z) = (ax + by + cz, dx + ey + fz)

M = a b c

f d e f

3 2

R R 3

Versori fondamentali di R :

e = (1, 0, 0) f (a, d)

1

e = (0, 1, 0) f (b, e)

2

e = (0, 0, 1) f (c, f)

3

Prima colonna della matrice M è (a, d) ovvero f(e ).

f 1

Seconda colonna della matrice M è (b, e) ovvero f(e ).

f 2

Terza colonna della matrice M è (c, f) ovvero f(e ).

f 3

La righe della matrice contengono i coefficienti a b c d e f, degli elementi x, y, z.

Le colonne della matrice contengono le funzioni f dei tre versori (e , e , e ).

1 2 3

*24-APPUNTI FOGLIO-1*

Applicazioni lineari iniettive e suriettive:

*24-APPUNTI FOGLIO-2*

Applicazioni lineari iniettive e suriettive:

n m

f: R R

iniettiva ρ(M ) = n

f

suriettiva ρ(M ) = m

f

invertibile ρ(M ) = m = n

f

n m

f: R R

iniettiva ρ(M ) = n Ker f = {0 }

f V

m

suriettiva ρ(M ) = m Im f = R

f

invertibile ρ(M ) = m = n

f

Sistemi lineari: risoluzione dei sistemi ridotti:

Sistemi lineari e matrici:

*25-APPUNTI FOGLIO-1*

AX = B (A matrice dei coefficienti, X matrice delle incognite, B matrice dei termini noti ovvero i risultati delle

equazioni)

a … a b

11 1n 1

(A | B) = … … … …

a … a b

m1 mn m

matrice completa, trasformazione in forma matriciale.

*25-APPUNTI FOGLIO-2*

Sistemi ridotti:

*25-APPUNTI FOGLIO-2*

Sistemi ridotti:

Sistema ridotto AX = B

♦ ◙ ♦ ♦ ♦ ♦

◙ ♦ ♦ ♦ ♦

0 ◙ ♦ ♦ ♦

(A | B) = 0 0 ♦ ◙ ♦

0 0 0 ◙ ♦

0 0 0 0

◙ = elemento speciale

♦ = elemento qualsiasi

0 = zero

*25-APPUNTI FOGLIO-3*

Sistemi lineari: teorema di Rouché – Capelli e incognite libere:

*26-APPUNTI FOGLIO-1*

Un sistema risolubile ha il rango della matrice dei coefficienti uguale al rango della matrice completa.

Il numero delle incognite libere è collegato al numero totale di incognite, dal rango della matrice completa.

Quando un sistema lineare è privo di soluzioni, il rango della matrice completa è diverso dal rango della matrice dei

coefficienti.

Teorema di Rouché – Capelli:

Sistema lineare AX = B di m equazioni in n incognite con ρ(A) = p, ρ(A|B) = q, quindi ρ(A) = ρ(A|B)

 n - p

Risolubile p = q, allora (sistema risolubile o compatibile) ci sono ꝏ soluzioni, ovvero n – p incognite sono libere.

Il teorema di Rouché – Capelli permette di sapere subito se il sistema è risolubile o non risolubile.

Sistemi omogenei:

Sistemi omogenei:

Sistema in cui il termine noto vale sempre zero (0).

I sistemi omogenei hanno sempre soluzioni (almeno la soluzione nulla, ovvero quando le incognite valgono zero).

AX = 0 ha sempre n – ρ(A) incognite libere.

*26-APPUNTI FOGLIO-2*

In un sistema esiste una ed una sola soluzione quando non ci sono incognite libere, che possono essere assegnate a

piacere; le incognite possono assumere solo un valore. Quando n = p, il numero delle incognite è uguale al rango della

n – p

matrice dei coefficienti, in questo caso non si hanno incognite libere, e quindi si ha una sola soluzione. (ꝏ = 1).

In generale un sistema lineare può avere: nessuna soluzione(0), una soluzione(1), infinite soluzioni(ꝏ).

Un sistema omogeneo può avere: una soluzione(1) o infinite soluzioni(ꝏ).

Sistema e nucleo:

M = A

f

Ker f = soluzioni di AX=0

dim (Ker f) = n – ρ(M )

f

n = dimensione dello spazio di partenza

ρ(M ) = dim (Im f)

f

*26-APPUNTI FOGLIO-3*

AX = B per risolvere si riduce A per righe.

AX = B risolubile ρ(A) = ρ(A|B) = p

Se risolubile: ci sono n – p incognite libere.

Sistemi lineari: esempi ed applicazioni:

Controimmagini:

n m

f: R R

M = A

f a

1

AX = …

a

m -1

dà la controimmagine f (a , …, a )

1 m

-1

f è la controimmagine.

*27-APPUNTI FOGLIO-1*

Esempi ed applicazioni:

Inversa di A:

a b c 1 0 0 X 1

a’ b’ c’ X = 0 1 0 X = X 2

a’’ b’’ c’’ 0 0 1 X 3

-1

X , X , X = righe di X = A

1 2 3

Sistema lineare in cui le incognite sono le righe.

*27-APPUNTI FOGLIO-2*

(A|I) ha il rango massimo possibile.

È risolubile se ρ(A) = ρ(A|I).

Risolvendo sistemi lineari si trovano:

Ker f

Controimmagini

Matrici inverse

Il determinante di una matrice quadrata:

*28-APPUNTI FOGLIO-1*

Il complemento algebrico si può definire per ogni elemento della matrice n x n. Il complemento algebrico di

un elemento è il determinante della matrice, che si ottiene cancellando la riga e la colonna che si incrociano

in quel elemento, e con un segno.

Regola di Laplace:

Il determinante di una matrice quadrata A si ottiene prendendo gli elementi della riga i-esima

moltiplicandoli per i loro complementi algebrici e facendo la somma degli elementi ottenuti.

detA = a A + a A + … + a A = a A + a A + … + a A

i1 i1 i2 i2 in in 1j 1j 2j 2j nj nj

Cioè il determinante di A si ottiene moltiplicando gli elementi di una riga (ovvero di una colonna) per i loro

complementi algebrici e facendo la somma dei risultati.

*28-APPUNTI FOGLIO-2*

Matrici ortogonali:

a … a

11 1n

A = … … …

a … a

n1 nn 

t -1 t

Matrice quadrata P ortogonale PP = I P = P

detP = ±1; se detP = 1, P è speciale.

*28-APPUNTI FOGLIO-3*

P = cos a -sin a

sin a cos a

è ortogonale speciale. -1

A è invertibile se e soltanto se detA ≠ 0; det(A ) = 1/detA

A … A

11 n1

-1

se detA ≠ 0, A = (1/detA) * … … …

A … A

1n nn

La regola di Cramer:

Si usa per risolvere i sistemi con una sola soluzione.

A quadrata invertibile, AX = B ammette l’unica soluzione.

A … A b

11 n1 1

-1

X = A B = (1/detA)* … … … …

A … A b

1n nn n

*29-APPUNTI FOGLIO-1*

I numeri complessi: 2

Sono le espressioni formali del tipo a + ib, dove a e b sono numeri reali e i è tale che i = -1.

a + i0 = numeri reali

0 + ib = immaginari puri

a + ib a – ib = complesso coniugato

a: parte reale del numero complesso

b: coefficiente dell’immaginario

i: unità immaginaria

ib: parte immaginaria del numero complesso

*30-APPUNTI FOGLIO-1*

z = a + ib = numero complesso ≠ 0

2 2 2 2

inverso di z = a/(a + b ) – i*[ b/(a + b ) ]

*30-APPUNTI FOGLIO-2*

Numeri complessi a + ib:

-somma

-prodotto

-inverso

-quoziente

I numeri complessi: 2 2

ρ = √(x + y )

x = ρ*cosθ 2 2

cosθ = x/[√(x + y )]

y = ρ*sinθ 2 2

sinθ = y/[√(x + y )]

x + iy = ρ(cosθ + i sinθ)

*31-APPUNTI FOGLIO-1*

Radice di un numero complesso:

Radice n.ma di un numero complesso:

n

z: w = z

n

σ = √ρ

ϕ = (θ + 2kπ)/n

n

dove √ρ indica la radice n.ma aritmetica di ρ e k è un intero compreso fra 0 e n – 1.

*31-APPUNTI FOGLIO-2*

Teorema fondamentale dell’algebra:

Sia p(x) C[x] un polinomio di grado n > 0. (C = campo numeri complessi)

Allora p(x) è un prodotto di polinomi complessi di primo grado.

In particolare p(x) ha sempre almeno una radice in C.

Principio d’identità: se due polinomi complessi hanno gli stessi valori per ogni valore assunto dalla variabile

x, allora hanno gli stessi coefficienti.

Autovalori ed autovettori di un endomorfismo:

n n

f: R R

λ è un autovalore di f se esiste un vettore non nullo v tale che si abbia: f(v) = λv.

Ogni v tale che f(v) = λv si dice autovettore di f relativo a λ.

a - λ … a

11 1n

A – λI = … … …

a … a - λ

n1 nn

det(A – λI) = 0

*32-APPUNTI FOGLIO-1*

La diagonalizzazione delle matrici quadrate:

*33-APPUNTI FOGLIO-1*

Se λ è un autovalore di molteplicità m, e V è il corrispondente autospazio, ovvero l’insieme degli autovettori

λ

relativi all’autovalore λ, allora la dimensione di V è sempre un numero compreso tra 1 e m, ovvero la molteplicità

λ

dell’autovalore.

λ è un autovalore di molteplicità m

V = autospazio associato

λ

1 <= dim V <= m

λ

*33-APPUNTI FOGLIO-2*

λ 0 … 0 0

1

-1

D = P AP = 0 λ … 0 0

2

… … … … …

0 0 … 0 λ n

*33-APPUNTI FOGLIO-3*

∃v

Autovalore: ≠ 0 tale che f(v) = λv

det(A – λI) = 0

Autospazio (A – λI)X = 0 -1

A diagonalizzabile: D = P AP

λ sulla diagonale principale, se è solo una con un valore, si ripete su tutta la diagonale per la sua molteplicità.

Nel campo dei numeri complessi C, si possono verificare delle matrici diagonalizzabili, che però non lo sono su R.

Coefficiente angolare ed esempi:

*34-APPUNTI FOGLIO-1*

Moto accelerato:

*34-APPUNTI FOGLIO-2*

Il concetto di derivata:

La derivata è il limite del rapporto incrementale:

h = x – x 0

x = x + h

0

 

h 0 è uguale a: x x 0

*34-APPUNTI FOGLIO-3*

La funzione f si dice derivabile in un punto, se la sua derivata esiste ed è finita nello stesso punto.

Continuità e derivabilità:

La continuità è una condizione necessaria (non sufficiente) per la derivabilità.

*34-APPUNTI FOGLIO-4*

La derivata in un punto esiste se e solo se nello stesso punto la derivata a destra e la derivata a sinistra

esistono e coincidono.

Significato geometrico della derivata:

*34-APPUNTI FOGLIO-5*

Derivata dell’esponente e del logaritmo:

*34-APPUNTI FOGLIO-6*

Regole di derivazione:

La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle rispettive derivate:

(f(x) + g(x))’ = f’(x) + g‘(x)

La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla derivata della prima per la seconda, più la prima per la

derivata della seconda:

(f(x)*g(x))’ = f’(x)*g(x) + f(x)*g’(x)

*35-APPUNTI FOGLIO-1*

La derivata della funzione reciproca è uguale a meno il rapporto tra la derivata della funzione e il quadrato

della funzione stessa:

2

(1/g(x))’ = -[g’(x)/g(x) ]

La derivata del quoziente di due funzioni è uguale alla derivata del numeratore per il denominatore meno il

numeratore per la derivata del denominatore, tutto diviso per il quadrato del denominatore:

2

(f(x)/g(x))’ = [f’(x)g(x) – f(x)g’(x)]/g(x)

*35-APPUNTI FOGLIO-2*

La derivata di una funzione pari è dispari.

La derivata di una funzione dispari è pari.

Derivazione della funzione composta:

La derivata di una funzione composta è uguale al prodotto delle derivate delle funzioni componenti:

f (f (x))’ = f ’(f (x))*f ’(x)

2 1 2 1 1

*36-APPUNTI FOGLIO-1*

Derivazione della funzione inversa:

La derivata della funzione inversa è uguale al reciproco della derivata della funzione diretta:

-1

Df (f(x)) = 1/Df(x)

*36-APPUNTI FOGLIO-2*

Problemi di massimo e minimo relativo:

In un punto di massimo relativo la derivata a destra è minore o uguale a 0, la derivata a sinistra è maggiore

o uguale a 0.

In un punto di minimo relativo la derivata a destra è maggiore o uguale a 0, la derivata a sinistra è minore o

uguale a 0.

Se f è derivabile in un intervallo ed ammette un punto di massimo o di minimo relativo interno a tale

intervallo, la derivata in tale punto è nulla.

I punti di annullamento della derivata prima si dicono punti critici (punti di stazionarietà, punto stazionario).

I punti di massimo o minimo relativo (estremanti) di una funzione derivabile, interni al suo intervallo di

definizione, vanno ricercati tra i punti critici (= punti in cui la derivata si annulla).

*36-APPUNTI FOGLIO-3*

Funzione: ad ogni valore della variabile indipendente resta associato un solo valore della variabile

dipendente.

Funzione iniettiva: a valori distinti della variabile indipendente restano associati valori distinti della variabile

dipendente.

Immagine della funzione: l’insieme dei valori che la funzione assume.

Problemi di massimo e minimo relativo: esempi

Se f è derivabile in un intervallo ed ammette un punto di massimo o di minimo relativo interno a tale

intervallo, la derivata in tale punto è nulla.

I punti di annullamento della derivata prima si dicono punti critici (punti di stazionarietà, punto stazionario).

I punti di massimo o minimo relativo (estremanti) di una funzione derivabile, interni al suo intervallo di

definizione, vanno ricercati tra i punti critici (= punti in cui la derivata si annulla).

*37-APPUNTI FOGLIO-1*

La derivata strettamente positiva implica che la funzione cresce.

La derivata strettamente negativa implica che la funzione decresce.

Teorema di Rolle:

Teorema di Rolle:

Se f è continua nell’intervallo [a, b] e derivabile almeno nei punti interni a tale intervallo, e si ha f(a) = f(b),

allora esiste un punto interno all’intervallo [a, b] in cui la derivata di f si annulla.

*38-APPUNTI FOGLIO-1*

Teorema di Lagrange e applicazioni:

Teorema di Lagrange (teorema del valor medio):

Se f è continua nell’intervallo [a, b] e derivabile almeno nei punti interni a tale intervallo, allora esiste un

punto interno all’intervallo [a, b] in cui la derivata di f vale: [f(b) – f(a)]/(b – a).

*38-APPUNTI FOGLIO-2*

Se una funzione è costante, la sua derivata è ovunque nulla.

Se una funzione ha derivata nulla in tutti i punti di un intervallo, essa è costante su tale intervallo.

Se una funzione ha derivata maggiore o uguale a 0 in tutti i punti di un intervallo, essa è crescente su tale

intervallo; se la derivata è maggiore di 0, la funzione è strettamente crescente.

Teorema di Cauchy:

Teorema di Cauchy:

Se f e g sono continue nell’intervallo [a, b] e derivabili almeno in (a, b), esiste un punto ξ in (a, b) in cui o:

f’(ξ) = g’(ξ) = 0 oppure: f’(ξ) / g’(ξ) = [f(b) – f(a)] / [g(b) – g(a)]

*38-APPUNTI FOGLIO-3*

Forme indeterminate:

*38-APPUNTI FOGLIO-4*

La derivata è il limite del rapporto incrementale.

I teoremi di L’Hopital:

Se esiste finito o infinito il limite del rapporto f’(x) diviso g’(x), allora esiste e fornisce lo stesso valore il

limite del rapporto f(x) diviso g(x).

Teorema di L’Hopital:

Se f e g sono continue nell’intervallo [a, b], nulle in x e derivabili per x ≠ x con g’(x) ≠ 0, allora se esiste il

0 0

limite: lim xx f’(x)/g’(x) , esiste ed ha lo stesso valore anche il limite: lim xx f(x)/g(x) .

0 0

*39-APPUNTI FOGLIO-1*

Se f è due volte derivabile in un intervallo l e in un punto critico interno ad l, se la derivata seconda è

positiva allora tale punto è un punto di minimo relativo (proprio), se la derivata seconda è negativa tale

punto è punto di massimo relativo (proprio).

Se f è due volte derivabile in un intervallo l, in un punto di minimo relativo interno ad l, la derivata prima si

annulla e la derivata seconda è maggiore o uguale a 0, in un punto di massimo relativo la derivata prima si

annulla e la derivata seconda è minore o uguale a 0.

Se ho un segno relativo alla derivata seconda, posso stabilire se il punto è un massimo o un minimo proprio,

mentre se ho un’informazione sul comportamento della funzione non si ha un’informazione sul segno della

derivata seconda, possiamo dire >= oppure <= a 0, ma non essere sicuri se può essere solo > oppure < a 0.

Insiemi convessi:

*40-APPUNTI FOGLIO-1*

Un insieme del piano si dice convesso se, per ogni coppia di punti appartenenti ad esso, tutto il segmento

che li congiunge appartiene allo stesso insieme.

Funzioni convesse e concave:

Si dice che il grafico di una funzione f rivolge la concavità verso l’alto se è convesso l’insieme dei punti che

stanno sopra il grafico.

Si dice che il grafico di una funzione f rivolge la concavità verso il basso se è convesso l’insieme dei punti

che stanno sotto il grafico.

Si dice che una funzione f è convessa in un intervallo I se essa rivolge la concavità verso l’alto, si dice che è

concava se rivolge la concavità verso il basso.

*40-APPUNTI FOGLIO-2*

Il punto che separa una concavità verso il basso da una verso l’alto, o viceversa, si chiama punto di flesso; la

funzione in questo punto inverte la propria concavità.

Derivata seconda e convessità:

Se f è due volte derivabile in un intervallo I e la sua derivata seconda è in ogni punto maggiore o uguale a 0,

allora f è convessa; se la derivata seconda è minore o uguale a 0, allora f è concava.

*40-APPUNTI FOGLIO-3*

Il segno della derivata seconda ci dà informazioni sulla concavità verso l’alto o verso il basso della funzione.

Punto di flesso:

Un punto di flesso è un punto che separa un intervallo di concavità da un intervallo di convessità.

I punti di flesso si ricercano annullando la derivata seconda.

Grafici di polinomi:

*41-APPUNTI FOLGIO-1*

Grafici di esponenziali:

*41-APPUNTI FOLGIO-2*

Grafici di funzioni iperboliche:

*41-APPUNTI FOLGIO-3*

Funzioni gaussiane:

*41-APPUNTI FOLGIO-4*

Funzioni di tipo gaussiano:

*42-APPUNTI FOGLIO-1*

Asintoti orizzontali e asintoti verticali:

*42-APPUNTI FOGLIO-2*

Un asintoto è una retta tale che la distanza tra essa e la curva della funzione f tende a 0 per x (asintoti

orizzontali o obliqui) o per x che tende ad un punto ove la f non è definita o è discontinua (asintoti

verticali).

Si dice che la retta x = c è un asintoto verticale per la funzione f se c'è un punto singolare in cui si abbia:

f(x) = ± oppure f(x) = ±

In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione x = c ed è il valore c (se esiste) ciò che

dobbiamo determinare (pertanto una funzione che non abbia punti singolari non può avere asintoti

verticali).

Si dice che la retta y = l è un asintoto orizzontale per la funzione f se si verifica una almeno delle seguenti

condizioni:

f(x) = l oppure f(x) = l

Ove l è un numero reale. In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione y=l ed in questo

caso è il numero l quel che dobbiamo determinare.

Se si ha f(x)= ± oppure f(x)= ± , è lecito chiedersi se esista un asintoto obliquo, e cioè se

il grafico della funzione si accosta (quando x tende a più o meno infinito) a quello di una retta di

equazione y=mx+q (ove m ¹ 0, altrimenti si tratterebbe di un asintoto orizzontale); naturalmente possiamo

avere due diversi asintoti obliqui per x che tende a più o meno infinito. Quindi in questo caso dobbiamo

determinare (se esistono) i valori m e q.

Per determinare m si calcola il limite: f(x)/x . Se tale limite esiste ed è finito, ci dà il valore di m; si

procede allora a calcolare q effettuando il limite f(x) - mx .

Di nuovo, se tale limite esiste ed è finito, esso ci dà il valore di q. e quindi l'asintoto obliquo esiste per x che

tende a più infinito ed ha equazione y=mx+q . Lo stesso tipo di analisi va compiuto per x che tende a

meno infinito.

Asintoti obliqui:

*42-APPUNTI FOGLIO-3*

Definizione di trapezoide:

Il trapezoide di una funzione non negativa f definita sull’intervallo [a, b] è l’insieme dei punti (x, y) del piano

per cui x è compresa tra a e b e y è compresa tra 0 e f(x).

*43-APPUNTI FOGLIO-1*

Area del trapezoide:

L’area del trapezoide di una funzione continua e non negativa f è definita come l’estremo superiore delle

somme inferiori relative ad f e a tutte le possibili scomposizioni dell’intervallo [a, b].

*43-APPUNTI FOGLIO-2*

Integrale definito:

L’area del trapezoide di una funzione non negativa f, definita e continua sull’intervallo [a, b], si chiama

ba

integrale della stessa funzione e si indica col simbolo: ∫ f(x) dx .

*43-APPUNTI FOGLIO-3*

Esempi:

La parte positiva e la parte negativa di una funzione f sono definite in base alle formule:

+

f (x) = max {f(x), 0}

-

f (x) = max {-f(x), 0}

*43-APPUNTI FOGLIO-4*

L’integrale di una funzione f di segno variabile è definito come differenza tra gli integrali della parte positiva

e della parte negativa di f.

Definizione di primitiva:

Una primitiva della funzione f è una funzione F avente f come derivata.

Due primitive di una medesima funzione differiscono per una costante.

*44-APPUNTI FOGLIO-1*

La funzione integrale:

La funzione integrale relativa alla funzione f, è ciò che si ottiene integrando f tra un punto fisso e un punto

 xa

variabile: x ∫ f(t) dt .

*44-APPUNTI FOGLIO-2*

Teorema fondamentale del calcolo integrale:

Teorema fondamentale:  xa

Se f è continua su [a, b], allora la funzione integrale x ∫ f(t) dt , è una primitiva di f.

ba

Se G è una qualsivoglia primitiva della funzione continua f, allora ∫ f(x) dx = G(b) – G(a) .

*44-APPUNTI FOGLIO-3*

Calcolo dell’integrale:

*44-APPUNTI FOGLIO-4*

Operazioni con gli integrali:

L’integrale della somma è uguale alla somma degli integrali; l’integrale del prodotto di una costante per una

funzione è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione.

*45-APPUNTI FOGLIO-1*

Monotonia dell’integrale:

Se f è minore o uguale a g, l’integrale di f è minore o uguale dell’integrale di g.

*45-APPUNTI FOGLIO-2*

Teorema della media integrale:

Se f è continua sull’intervallo [a, b], m ed M sono il minimo e il massimo di f, allora:

ba

m <= 1/(b – a) * ∫ f(x) dx <= M

*45-APPUNTI FOGLIO-3*

Integrazione per parti:

Se f è continua nell’intervallo [a, b] e F è una sua primitiva, G è derivabile sullo stesso intervallo e g è la sua

derivata, allora:

ba ba

∫ f(x)G(x) dx = [F(b)G(b) – F(a)G(a)] – ∫ F(x)g(x) dx

*46-APPUNTI FOGLIO-1*

Integrazione per sostituzione:

Sia f[a, b]R una funzione continua (trasforma intervalli in intervalli) e sia ϕ: [α, β][a, b] una funzione

con derivata prima continua, tale che ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Allora:

ba βα

∫ f(x) dx = ∫ f(ϕ(t))*ϕ’(t) dt

*46-APPUNTI FOGLIO-2*


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4 mesi fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher BossAppunti di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Uninettuno - Uninettuno o del prof Barozzi Giulio Cesare.

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