Matematica (corso ordinario) - Traccia 2012

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2012

Seconda prova scritta

Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca

M557 – Esame di Stato di liceo scientifico

Corso di ordinamento

Scientifico

Indirizzo:

Matematica

Tema di:

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

Problema 1

Siano f e g le funzioni definite, per tutti gli x reali, da

f(x) = x³/27 e g(x) = sen (π/2 x).

1. Qual è il periodo della funzione g? Si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G_f e G_g in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy.

2. Si scrivano le equazioni delle rette r e s tangenti, rispettivamente, a G_f e a G_g nel punto di ascissa x = 1/3. Qual è l’ampiezza, in gradi e primi sessagesimali, dell’angolo acuto formato da r e da s?

3. Sia R la regione delimitata da G_f e da G_g. Si calcoli l’area di R.

4. La regione R, ruotando attorno all’asse x, genera il solido S e, ruotando attorno all’asse y, il solido T. Si scrivano, spiegandone il perché, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T.

Problema 2

Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy sono assegnati l’arco di circonferenza di centro O e estremi A(3, 0) e B(0, 3) e l’arco L della parabola d’equazione x² = 9 − 6y, i cui estremi sono il punto A e il punto (0, 3/2).

1. Sia r la retta tangente in A a L. Si calcoli l’area di ciascuna delle due parti in cui divide la regione R racchiusa tra L e l’arco AB.

2. La regione R è la base di un solido W le cui sezioni, ottenute tagliando W con piani perpendicolari all’asse x, hanno, per ogni 0 ≤ x ≤ 3, area S(x) = (5 − 3x)/2. Si determini il volume di W.

3. Si calcoli il volume del solido ottenuto dalla rotazione di R intorno all’asse x.

4. Si provi che l’arco L è il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti internamente all’arco AB e all’asse x. Infine, tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri si determini quella che risulta tangente anche all’arco di circonferenza di centro A e raggio 3, come nella figura a lato.