[newpage]Primo quesito

$V = \pi R^2 \cdot 2h\\ R^2 = r^2 - h^2\\ V(h) = 2\pi h \left(r^2 - h^2\right) = 2\pi \left(r^2 h - h^3\right)\\ V'(h) = 2\pi \left(r^2 - 3 h^2\right) = 0 \Rightarrow h = \frac{r}{\sqrt{3}}\\ V = 2 \pi \left(r^2 \frac{3}{\sqrt{3}} - \left(r^2 \frac{3}{\sqrt{3}}\right)^3 \right) = 2 \pi \frac{2r^3}{3\sqrt{3}} \simeq 522.3742 l$

Secondo quesito

$P\in grafico\left(\sqrt{x}\right) \Rightarrow P\left(x,\sqrt{x}\right)\: x\geq0 Se\: A\left(4,0\right)\\ \Rightarrow dist\left(P,A\right)=d\left(x\right)\sqrt{\left(x-4\right)^{2}+\left(\sqrt{\sqrt{x-0}}\right)^{2}}=\\\sqrt{x^{2}-8x+16+x}=\sqrt{x^{2}-7x+16}\\ \Rightarrow d'\left(x\right)=\frac{1}{2d\left(x\right)}\left(2x-7\right)=0 \Longleftrightarrow x=\frac{7}{2}\Rightarrow P\left(\frac{7}{2},\sqrt{\frac{7}{2}}\right)$

Terzo quesito

Se

$f\left(x\right)=x^{3}$

sia
$g\left(y\right)=f^{-1}\left(y\right)\\ \Rightarrow g\left(y=\sqrt[3]{y}\right)\\ x=0\Rightarrow y=0\\ x=2\Rightarrow y=8 V=V_{cil}-\pi\int_{0}^{8}\left(\sqrt[3]{y}\right)^{2}dy=\\\pi\cdot 4\cdot 8-\pi\left[\frac{3}{5}y^{\frac{5}{3}}\right]_{0}^{8}=32\pi-\frac{3}{5}\pi8^{\frac{5}{3}}=\\32\pi-\frac{3}{5}\pi32=\frac{64}{5}$

Quarto quesito

$\left(\begin{array}{c} n\\4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n\\3 \end{array}\right)\\\ \Rightarrow\frac{n!}{4!\left(n-r\right)!}=\frac{n!}{3!\left(n-3\right)!}\\ n\not=0\Rightarrow4!\left(n-4\right)!=3!\left(n-3\right)!\\ \geq4\Rightarrow4=n-3\Rightarrow n=7$

Quinto quesito

$A=\int_{1}^{2}\mid cosx\mid dx=\\ \int_{1}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{2}\left(-cosx\right)dx=\\sinx\mid_{1}^{\frac{\pi}{2}}-sinx\mid_{\frac{\pi}{2}}^{2}= \\1-\sin\left(1\right)-\sin\left(2\right)+1=2-\sin\left(1\right)-\sin\left(2\right)$

Sesto quesito

$lim_{x\rightarrow a}\frac{tanx-tana}{x-a}\stackrel{H}{=}\\lim_{x\rightarrow a}\frac{1-tan^{2}x}{1}=1+tan^{2}a\\ posto x-a=t\\ lim_{t\rightarrow0}\frac{tan\left(t+a\right)-tana}{t}=\\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}\left[\frac{tantt-tana}{1-tant\: tana}-tana\right]\\ lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}\frac{tantt+tana-tana+tant\, tan^{2}a}{1-tant\: tana}=\\ lim_{t\rightarrow0}\frac{tant\left(1+tan^{2}a\right)}{1-tana1\, tant}=\\ lim_{t\rightarrow0}\frac{tant}{t}\frac{1}{1-tana\, tant}\left(1+tan^{2}a\right)=\\ 1+tan^{2}a$

Settimo quesito

$f\left(x\right)=x^{2011}+2011x+12=0\\ Dom\left(f\right)=\mathbb{R}\\ lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=\pm\infty\\ f'\left(x\right)=2011x^{2010}+2011\left(x^{2010}+1\right)>0\;\forall x\in Dom\left(f\right)\\ \Rightarrow f$

cresce dappertutto. Poiché

$\exists a<0,\: b>0\\ f\left(x\right)<0\; x\in(-\infty,a]\\ f\left(x\right)>0\; x\in[b,+\infty)\\$

(per il teorema della permanenza del segno)

$\Rightarrow$
per il teorema di esistenza degli zeri su
$\left[a,b\right]$
si ha
$f\left(a\right)f\left(b\right)<0\\ f'\left(x\right)>0\;\forall x\in\left[a,b\right]\Rightarrow\exists!\;\in\left(a,b\right):f\left(C\right)=0$

Poiché poi

$f\left(0\right)=12>0\; f\left(-1\right)=-2000<0\Rightarrow C\in\left(-1,0\right)$

Ottavo quesito
il problema della quadratura del cerchio consiste nel costruire con riga e compasso un quadrato equivalente ad un cerchio dato. Il problema, in forma algebrica implica la risoluzione dell'equazione

$l^{2}=\pi r^{2}$
(l=lato quadrato r=raggio circonferenza) e non ha soluzione a causa della trascendenza di
$\sqrt{\pi}$
(la soluzione algebrica è
$l=r\sqrt{\pi}$
)

Nono quesito

Se

$P\left(x,y,z\right)$
è un punto di
$\mathbb{R}^{3}$
siano
$A\left(a,0,0\right) \ B\left(0,b,0\right)\ C\left(0,0,0\right)\equiv0$

i vertici del triangolo rettangoo nel piano.
Allora
$PA=\sqrt{\left(x-a\right)^{2}+y^{2}+z^{2}}\\ PB=\sqrt{x^{2}+\left(y-b\right)^{2}+z^{2}}\\ PC=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\\$

Ne segue
$\begin{cases} \left(x-a\right)^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\\ x^{2}+\left(y-b\right)^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+z^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x^{2}+a^{2}-2ax=x^{2}\\ y^{2}+b^{2}-2by=y^{2} \end{cases}$

da cui

$x=\frac{a}{2},\qquad y=\frac{b}{2}$

e quindi
$P(a/2,b/2,z),\ z\in\mathbb{R}$
che è la retta passante per il punto medio dell'ipotenusa AB e perpendicolare al piano che contiene il triangolo

Decimo quesito

I grafici di I e III sono dispari, mentre II è pari. Poiché
g pari

$\Rightarrow$
g' dispari
g dispari
$\Rightarrow$
g' pari
ciò implica che f deve essere o I o III e f' è II. Poiché f' si annulla in due punti
$\Rightarrow$
f ha due punti stazionari e quindi un max e un min. Ne segue che f è la III e la risposta giusta è D

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