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Somma dei primi n numeri triangolari

I numeri triangolari sono numeri della forma
[math]a_k = \frac{k(k+1)}{2}[/math]
, dove
[math]a_k[/math]
è il k-esimo numero triangolare.
Immagina di avere a disposizione un numero triangolare di palline, puoi costruire un triangolo mettendo opportunamente queste palline.
Per esempio, se hai 6 palline, puoi costruire un triangolo mettendo tre palline sulla base, due palline sopra essa, e una palla in cima!
I numeri triangolari si sa, sono infiniti, però c'è un metodo per calcolare la loro somma.
Si tratta semplicemente di determinare il valore della seguente somma:
[math]\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}[/math]
.
Determiniamo la formula
[math]\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}[/math]
, "isoliamo"
[math]\frac{1}{2}[/math]
.
Abbiamo allora:
[math]\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n k(k+1)[/math]
.
Sviluppando l'espressione della sommatoria si ottiene:
[math]k(k+1) = k^2+k[/math]
.
Grazie a due formule molto importanti (la somma dei primi n quadrati e la somma dei primi n numeri interi), si ottiene la formula. Ci resta solo da sommare il tutto.
[math]\frac{1}{2}[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2} = \frac{1}{2}[\frac{(n^2+n)(2n+1)}{6}+\frac{n^2+n}{2}] = \frac{1}{2}[\frac{2n^3+3n^2+n}{6}+\frac{n^2+n}{2}] = \frac{1}{2}[\frac{2n^3+3n^2+n+3n^2+3n}{6}] = \frac{1}{2}[\frac{2n^3+6n^2+4n}{6}] = \frac{1}{2}[\frac{2n(n^2+3n+2)}{6}] = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/math]
.
In conclusione
[math]\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/math]
.
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