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L'insieme

[math]\mathbb{N}[/math] e delle operazioni tra numeri naturali


L'insieme N dei numeri naturali è il più piccolo insieme tra quelli induttivi.

In simboli:

[math]\forall A\, \textrm{induttivo} \Rightarrow \mathbb{N}\subseteq A [/math]

Nota:utilizzeremo la notazione

[math]a\oplus 1_{A}=b[/math]
per indicare la costruzione del successivo di
[math]a[/math]
.

Operazioni aritmetiche in

[math]\mathbb{N}[/math]:somma, prodotto e potenza


[math]\forall a,b\in \mathbb{N}[/math]


[math]a+b\stackrel{def}{=}((…(((a\oplus 1_{A} )\oplus 1_{A} )\oplus 1_{A} )…\oplus 1_{A} )
[/math]
[math]a+b[/math]
è il
[math]b[/math]
-esimo successivo di
[math]a[/math]

[math]a\cdot b\stackrel{def}{=}((a+a+a……+a))[/math]


[math]a^b\stackrel{def}{=} (a\cdot a\cdot …… \cdot a)[/math]

Operazioni aritmetiche in

[math]\mathbb{N}[/math]: differenza e quoziente


Per definire l'operazione di differenza si ricorre alla relazione:
[math]\Re A^{-1}= \textrm{'essere\, il\, precedente\, di'}[/math]
relazione inversa a quella che denota l'insieme come induttivo
[math]a-b[/math]
è il b-esimo precedente di
[math]a[/math]

Poiché il precedente di uno (
[math]1a[/math]
) non esiste l'operazione di differenza assume senso in
[math]\mathbb{N}[/math]
solo per alcuni valori di
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
.
Il quoziente dati due numeri
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
: si definisce quoziente la coppia
[math](q,r)[/math]
tale che:
[math]a:b\stackrel{def}{=}(q,r)\ \Leftrightarrow\ b\cdot q+r=a[/math]

dove
[math]q[/math]
e
[math]r[/math]
(quoziente e resto) si determinano utilizzando la procedura algoritmica delle sottrazioni successive, che consiste nel sottrarre ripetutamente
[math]b[/math]
(divisore) da
[math]a[/math]
(dividendo) fino a ottenere la quantità residuale
[math]r[/math]
minore di
[math]b[/math]
.
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