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Prodotto scalare e norma

Definizioni
Uno spazio vettoriale euclideo `e una coppia (V, < , >) dove V `e uno spazio vettoriale reale e < , > : V × V → R `e un prodotto scalare non formato da vettori. Due vettori u, v ∈ V si dicono ortogonali e si scrive u ⊥ v, se < u, v >= 0.
La norma del vettore v `e il numero reale: ||v|| =√< v, v >.
Un vettore v con ||v|| = 1 `e detto versore, ed è il vettore fondamentale.
Proprietà della norma
(a) ||v|| ≥ 0; (||v|| = 0) ⇔ (v = ¯0 (segnato))
(b) ||αv|| = |α| · ||v||
(c) ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| (disuguaglianza triangolare o di Minkowski)
(d) | < u, v > | ≤ ||u|| · ||v|| (disuguaglianza di Schwarz)
(e) ||u ± v||^2 = ||u||^2 ± 2 < u, v > +||v||^2

Sottoinsiemi ortogonali e ortonormali

X ⊆ V si dice ortogonale se ∀u, v ∈ X si ha < u, v >= 0. X si dice ortonormale se `e ortogonale e ∀u ∈ X, si ha kuk = 1.
Proposizione
Ogni sottoinsieme ortogonale di V non contenente il vettore nullo `e linearmente indipendente.
Definizione
Una base ortonormale di V `e una base B = {e1, . . . , en} di V formata da versori a due a due ortogonali, cio`e < ei, ej >= δij .
Proposizione
Ogni spazio vettoriale euclideo di dimensione finita ammette una base ortonormale.
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