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Equazioni di Secondo Grado - Formula Risolutiva - Dimostrazione

Un'equazione di secondo grado è un'equazione del tipo
[math]ax^2+bx+c = 0[/math]
, che ha sempre due soluzioni complesse
[math]x_1[/math]
e
[math]x_2[/math]
, che si trovano con la formula:
[math]x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]
,
[math]x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]
.
Dimostriamola.
Dimostrazione
Sia f(x) un polinomio di grado due, per il Teorema Fondamentale dell'Algebra esso possiede esattamente due radici complesse, ovvero due numeri
[math]x_1[/math]
,
[math]x_2[/math]
tali che:
[math]f(x_1) = 0[/math]
, e
[math]f(x_2) = 0[/math]
Per Teorema di Ruffini:
[math]f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) = ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2[/math]
Da cui si ottiene che se
[math]f(x) = ax^2+bx+c[/math]
, allora:
[math]b = a(x_1+x_2)[/math]
[math]c = a(x_1x_2)[/math]
Ora sostituiamo ciò che abbiamo trovato con la formula da dimostrare. Allora avremo:
[math]x_1 = \frac{ax_1+ax_2+\sqrt{(ax_1+ax_2)^2-4a^2x_1x_2}}{2a} = \frac{ax_1+ax_2+\sqrt{a^2x_1+a^2x_2+2a^2x_1x_2-4a^2x_1x_2}}{2a} = \frac{ax_1+ax_2+\sqrt{a^2x_1+a^2x_2-2a^2x_1x_2}}{2a} = \frac{ax_1+ax_2+\sqrt{(ax_1-ax_2)^2}}{2a} = \frac{ax_1+ax_2+ax_1-ax_2}{2a} = \frac{2ax_1}{2a} = x_1[/math]
Allo stesso modo, se invece si sottrae ciò che si ricava dall'estrazione della radice, si ottiene la seconda soluzione dell'equazione.
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