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Combinatoria - Uguaglianze - Teoria


Nello studio della combinatoria possono capitare spesso problemi del genere, ma anche nelle Olimpiadi della Matematica possiamo trovarci davanti problemi del genere.
Cosa intendo per uguaglianze? Per uguaglianze intendo esercizi del genere:
Esempio:
Quante sono le quaterne (a, b, c, d) di interi positivi tali che:
[math]a + b + c + d = 32[/math]
?
Potremmo dire: È semplice! Ora mi metto e le scrivo tutte.
Sì, senz'altro, ma quando finiresti?
C'è una formuletta per risolvere velocemente problemi di questo genere, per dimostrarla partiamo da un problema meno difficile.
Ho 6 caramelle, in quanti modi li posso distribuire a 4 bambini (sono validi anche i casi in cui un bambino non ne riceve nessuna o di più rispetto agli altri).
Chiamo con la lettera A ogni caramella, e B un "separatore" tra un bambino e un altro.
Ci resterebbe da anagrammare la parola AAAAAABBB. Contando gli anagrammi di questa parola si ha che: Modi =
[math]9 \choose 6 [/math]
[math]=\frac{9 * 8 * 7}{3 * 2} = 84[/math]
Ma ora ritorniamo al problema precedente, immaginiamo quindi di avere una parola composta appunto da 32 "A" e 3 "B". Per calcolare gli anagrammi di tale parola bisognerebbe fare
[math]35 \choose 32[/math]
[math]= \frac{35 * 34 * 33}{3 * 2} = 6545[/math]
Le quaterne (a,b,c,d) sono 6545.
Si ricava la formula
[math]n+h-1 \choose n[/math]
, dove n corrisponde a 32 e h a 4, nel nostro caso.
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