SculacciaGirl
SculacciaGirl - Sapiens - 320 Punti
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Salve, qualcuno può aiutarmi nella verifica del limite della seguente funzione?

lim (1/2)^(1/x)=1, calcolato per x ->+infinito....

ATTENZIONE: scusate per come l'ho scritto, ma ^ stà per elevamento a potenza .

Grazie anticipatamente.
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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chiamo 1/x=y

essendo

[math]\lim_{x\to+\infty}\,\frac1x=0[/math]

il limite diventa

[math]\lim_{y\to0}\,(\frac12)^y=\lim_{y\to0}\,2^{-y}=\lim_{y\to0}\,2^y[/math]

questo vuol dire che presa una qualsiasi epsilon, piccola a piacere, deve esistere un intorno di 0 tale per cui tutte le x apparteneti a quell'intorno soddisfino la disequazione

|2^y-1|<e

ovvero

1-e<2^y<1+e

[math]log_2(1-e)<log_2(2^y)<log_2(1+e)[/math]

[math]log_2(1-e)<y<log_2(1+e)[/math]

visto che 1+e>1 ---> log2(1+e)>0

visto che 1-e<1 ---> log2(1-e)<0

[log2(1-e) ; log2(1+e)] è quindi un intorno di 0, quindi il limite è dimostrato
SculacciaGirl
SculacciaGirl - Sapiens - 320 Punti
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grazie plum...a dire il vero ci ero arrivato scomponendo la f.ne data in f.ni componenti, come sostanzialmente hai fatto te. Ma è obbligatorio per la verifica?
Di solito in altrio esercizi mi è capitato di agire direttamente e quello che trovavo era un intorno del punto richiesto.
QUI in questo caso se procedi direttamente, alla fine non trovi mica un intorno di +infinito??

Cmq grazie mille
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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si, se qui procedi direttamente ti deve venire fuori un intorno di infinito, altrimenti il limite non è verificato. il conto però risulta molto più difficile da fare; se riesci ad agire "direttamente" ben venga, ma se puoi semplificare il tutto perchè non farlo?:)
SculacciaGirl
SculacciaGirl - Sapiens - 320 Punti
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Grazie cmq, il tuo aiuto mi è stato di grande aiuto per sicurezza.
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