fabio rapeti
fabio rapeti - Erectus - 118 Punti
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Scrivere l'equazione della circonferenza che passa per l'origine degli assi ed è tangente alla retta "x-2y-1=0" nel punto di ascisse "x=2"
mc2
mc2 - Genius - 14194 Punti
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Equazione della circonferenza generica passante per l'origine:

[math]x^2+y^2+ax+by=0[/math]

retta:
[math]x-2y-1=0[/math]


La circonferenza deve essere tangente alla retta data nel punto P: vuol dire che anche la circonferenza deve passare per il punto P, e le coordinate di questo punto si ricavano dall'equazione della retta:
[math]P(2,\frac{1}{2})[/math]


Impongo il passaggio per P:

[math]4+\frac{1}{4}+2a+\frac{1}{2}b=0[/math]

[math]b=-4a-\frac{17}{2}[/math]


Mettiamo a sistema l'equazione della retta e della circonferenza: occorrera` imporre che l'unica soluzione sia il punto P (condizione di tangenza)


[math]\left\{\begin{array}{l}
x=2y+1 \\
x^2+y^2+ax+by=0 \end{array}\right.
[/math]


[math]4y^2+4y+1+y^2+2ay+a+by=0[/math]

[math]5y^2+(4+2a+b)y+1+a=0[/math]


questa equazione deve avere due soluzioni coincidenti (il punto P), quindi il suo
[math]\Delta[/math]
deve essere 0:
[math](4+2a+b)^2-20(1+a)=0[/math]

Sostituendo la relazione trovata prima
[math]b=-4a-\frac{17}{2}[/math]
e facendo un po' di calcoli si arriva a
[math]16a^2-8a+1=0[/math]

che ammette la soluzione
[math]a=\frac{1}{4}[/math]

quindi
[math]b=-4a-\frac{17}{2}=-\frac{19}{2}[/math]

e la circonferenza richiesta e`

[math]x^2+y^2+\frac{1}{4}{x}-\frac{19}{2}y=0[/math]
fabio rapeti
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