3t3r3o
3t3r3o - Ominide - 49 Punti
Salva
Salve, sono un pò (parecchio) arruginito con la geometria cercavo di rinfrescarmi la memoria con problemini originali: mi sono imbattuto in questo e ancora non ne sono venuto a capo.

"
Dal vertice B del triangolo rettangolo isoscele ABC di cateti AB = AC = 2a si conduca una semiretta in modo che, detta P la sua intersezione con il cateto AC, Q la proiezione di P sull'ipotenusa BC ed R la proiezione di Q sul cateto AB risulti Ka^2 (k appartenente ad R) l'area del trapezio APQR.
"
Soluzioni: 1 sol. per k [0;1/2[; 2 sol. per k [1/2;2/3]

tra l'altro ho trovato lo stesso testo su questo sito in un post di circa due anni fa ma era senza risposta. Ho scritto mille equazioni ricavate dall'osservazione del disegno e dai dati forniti, ma il numero di incognite è sempre piu grande e nn cavo un ragno dal buco e mi comincio a innervosire... magari qualche "primino" piu fresco di me ci arriva subito ;)
grazie!

Aggiunto 1 ore 31 minuti più tardi:

ciao,
non saprei, in effetti che fosse di trigonometria era una mia supposizione... puoi mostrarmi come l'hai risolto? sono molto curioso! rispondi presto ;)


Di nuovo grazie per la risposta che voto come migliore (anche perchè l'unica :P) Alla fine ero arrivato alla tua stessa soluzione secondo cui k<2/3 risolvendo un semplice sistema di due equazioni in due incognite, basato sull'osservazione che l'area del trapezio non è altro che l'area totale meno quella di altri due triangoli rettangoli isosceli anch'essi inscritti; le osservazioni sui casi limite invece non le avevo proprio considerate perciò non avrei mai cavato un ragno dal buco...grazie mille ;)
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
Salva
Io l'ho risolto senza trigonometria, pero'
E' un problema espressamente di trigonometria?

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Prima di determinare l'incognita, valutiamo che:

il triangolo e' isoscele di lato 2a, rettangolo.
Questo implica che i due angoli acuti siano entrambi 45, e pertanto l'ipotenusa sara'
[math] cat \sqrt2 = 2a \sqrt2 [/math]

Poniamo AP=x

Casi limite:

P coincide con A:
x=0
AR=a
RQ=a

Area del trapezio (che degenera in un triangolo)
[math] A=\frac{a^2}{2}=ka^2 \to k= \frac12 [/math]

P coincide con C:
x=2a
il trapezio degenera in un segmento
[math] A=0=ka^2 \to k=0 [/math]

Pertanto avremo i limiti di x:

[math] 0 \le x \le 2a [/math]

Consideriamo ora il triangolo PQC di cui abbiamo noto il lato PC=2a-x

Di questo triangolo sappiamo che e' rettangolo in Q ed ha l'angolo in C=45, pertanto l'angolo in P sara' 45 anch'esso, e PC ne rappresenta l'ipotenusa.


Dal momento che l'ipotenusa di un triangolo 90-45-45 e'
[math] cat \sqrt2 [/math]
, otteniamo che il cateto sara'
[math] \frac{ip}{\sqrt2}= \frac{ip \sqrt2}{2} [/math]

Pertanto PQ=QC=
[math] \frac{\sqrt2(2a-x)}{2} [/math]

Dunque l'altezza del trapezio traccia PK, perpendicolare ad AC e dunque a RQ) sara' cateto del triangolo PQK, anch'esso di angoli 90-45-45

Quindi PK=
[math] \sqrt2 \( \frac{\sqrt2(2a-x)}{2} \)= \frac{2a-x}{2} [/math]

Infine considera il triangolo BRQ, anch'esso 90-45-45 di cui conosci l'ipotenusa BQ, che ricavi per differenza da BC-CQ=
[math] 2a \sqrt2 - \frac{\sqrt2(2a-x)}{2} = \frac{2a \sqrt2+ \sqrt2 x}{2} [/math]

E dunque i cateti saranno
[math] \frac{\sqrt2(2a+x)}{2 \sqrt2}= \frac{2a+x}{2} [/math]

Dunque l'Area del trapezio sara'

[math] A= \frac{ \(x+ \frac{2a+x}{2} \) \( \frac{2a-x}{2} \) }{2} = ka^2 [/math]

E dunque

[math] \frac{(2x+2a+x)(2a-x)}{8}= ka^2 \to -3x^2+4ax-4a^2=8ka^2 [/math]

Risolviamo dunque l'equazione

[math] 3x^2-4ax-4a^2+8ka^2=0 [/math]

Dal momento che il coefficiente del termine in x e' pari usiamo la ridotta:

[math] x_{1,2}= \frac{2a \pm \sqrt{16a^2-24ka^2}}{3} [/math]

e dunque

[math] x_1= \frac{2a- 2a \sqrt{4-6k}}{3} [/math]
e
[math] x_2= \frac{2a+2a \sqrt{4-6k}}{3} [/math]

Le due soluzioni esisteranno se

[math] \Delta \ge 0 \to k \le \frac23 [/math]

Le soluzioni sono evidentemente x1<x2, dal momento che:
denominatore positivo per entrambe (3)
Numeratore e' dato da: 2a (a>0) a cui aggiungiamo/togliamo quantita' positive (radice di delta)

Quindi dovremo ancora discutere, per i casi limite iniziali:

[math] x_1 \ge 0 \to \frac{2a- 2a \sqrt{4-6k}}{3} \ge 0 [/math]

E quindi

[math] 2a(1- \sqrt{4-6x} ) \ge 0 \to \sqrt{4-6k} \le 1 \to 4-6k \le 1 \to k \ge \frac12 [/math]

E

[math] \frac{2a+2a \sqrt{4-6k}}{3} \le 2a \to \sqrt{4-6k} \le 2 \\ 4-6k \le 4 \to k \ge 0 [/math]

Pertanto studiando le soluzioni, avrai nell'insieme
[math] k \le \frac23 [/math]
che le soluzioni saranno:
da 0 a 1/2 e' verificata solo la seconda che abbiamo discusso
da 1/2 a 2/3 valgono entrambe

Inutile fare l'ulteriore calcolo di
[math] x_1 \le 2a [/math]
e
[math] x_2 \ge 0 [/math]
dal momento che essendo
[math] x_1 \le x_2 [/math]
abbiamo gia' discusso i casi:
[math] x_2 \le 2a \to x_1 \le x_2 \to x_1 \le x_2 \le 2a [/math]

e

[math] x_1 \ge 0 \to x_1 \le x_2 \to 0 \le x_1 \le x_2 [/math]

.
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa

Lascia un messaggio ai conduttori Vai alla pagina TV

In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di settembre
Vincitori di settembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

Registrati via email