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E' solo questione di "nomi":
[math]ax^2+bx+c=0\ (eq.\ completa)\\ax^2+bx=0\ (eq.\ spuria)\\ax^{n}=c\ (eq. PURA)[/math]
.
.
Quindi in una equazione PARAMETRICA chiedere per quale valore del parametro (solitamente "k";) l'equazione diventa PURA equivale a porre il "coefficiente" del termine in "x" UGUALE A ZERO.
In questo caso:
[math]kx^2+3kx+2k+1=0\\a=k\\b=3k\\c=2k+1\\quindi\ eq.\ pura\ se:\\b=0\\cioè\\3k=0\\k=0\\eq.\ spuria\ se\\c=0\\cioè\\2k+1=0\\k=-\frac{1}{2}[/math]
.
.
Una eq. di secondo grado può avere:
DUE soluzioni reali distinte <=> DELTA
[math]\ge 0[/math]
,
DUE soluzioni reali coincidenti <=> DELTA = 0 ,
NESSUNA soluzione reale (IMPOSSIBILE) <=> DELTA < 0.
Quindi:
[math]soluzioni\ coincidenti:\\
DELTA=0\\(3k)^2-4(k)(2k+1)=0\\9k^2-8k^2-4k=0\\k^2-4k=0\\k(k-4)=0\\k=0\\k-4=0\\quindi:\\k_1=0\\k_2=4[/math]
.
.--------------------------------------
[math]\frac{3x}{x-2}+\frac{3x+3}{x}=12\\[/math]
.
dato che la "x" compare al denominatore, BISOGNA porre:
[math]x-2\neq 0\\cioè:\\x\neq +2\\e\\x\neq 0[/math]
,
come Condizioni di Esistenza, perché:
[math]\frac{3x}{0}\\oppure\\\frac{3x+3}{0}\\NON\ HANNO\ SENSO[/math]
.
.
Poi si risolve normalmente, solo che alla fine BISOGNA controllare che le soluzioni trovate siano DIVERSE da "+2" e "0" e scartare quelle NON accettabili. Se ENTRAMBE fossero NON accettabili, l'equazione è IMPOSSIBILE.
-------------------------------------------------
.
[math]\frac{3}{2}(x-4)+1<\frac{4x}{4-x}\\PRIMA\ COSA:\\
4-x\neq 0\\x\neq +4\\poi\\\frac{3x-12}{2}+1<\frac{4x}{4-x}\\\frac{3x-12+2}{2}<\frac{4x}{4-x}\\\frac{(3x-10)(4-x)}{2(4-x)}-\frac{4x}{4-x}<0\\\frac{12x-3x^2-40+10x-8x}{2(4-x)}<0\\\frac{-3x^2+14x-40}{2(4-x)}<0\\\frac{+3x^2-14x+40}{2(4-x)}>0[/math]
.
.
Ora dobbiamo studiare i segni del numeratore e del denominatore. Se (e ribadisco SE) ho fatto tutti i calcoli giusti (CONTROLLA SEMPRE perché un errore o una svista di digitazione è sempre possibile) questo numeratore è SEMPRE positivo perché:
un trinomio di secondo grado assume valori positivi all'esterno dell'intervallo delle due soluzioni (ponendolo uguale a ZERO) e negativi all'interno
Qui
DELTA<0
ci dice che è SEMPRE positivo.
Quindi il segno dipende solo dal denominatore: la nostra frazione assume valori positivi quando
4 - x > 0
cioè
x < 4
.
Se volessimo i valori negativi della frazione, allora:
4 - x < 0
quando
x > 4
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Ovviamente la colpa è mia che mi sono spiegato male, non tua se non hai capito (puoi controllare: questo è il mio motto).
Circa il primo quesito:
1) una equazione si chiama "PURA" quando contiene UN SOLO termine con l'incognita (non importa a che potenza):
ESEMPI:
[math]5x=3\\2x^2=7\\x^3=1\\
5x^7=3[/math]
.
eccetera, , sono tutte EQUAZIONI PURE.
Se i coefficienti di una equazione contengono delle lettere (diverse dall'incognita), questi coefficienti cambiano a seconda del valore che diamo a questi "parametri".
Esempi:
[math]x^2+kx-1=0\\se\ "k"\ vale\ "3"\ allora\ diventa:\\x^2+3x-1=0\\se\\k=5\\allora:\\x^2+5x-1=0\\se\\k=51\\x^2+51x-1=0\\se\\k=-6\\x^2-6x-1=0
[/math]
.
eccetera.
Come vedi, cambiando il valore della "k", troviamo una equazione diversa.
Se voglio che questa equazione "parametrica" diventi PURA, bisogna che "sparisca" il termine in "x".
Allora, se in questo caso metto "ZERO" al posto della "k", succede che:
[math]x^2+(0)x-1=0\\diventa:\\x^2+0-1=0\\cioè:
x^2-1=0\\cioè:\\x^2=1[/math]
,
.
e questa E' una equazione PURA.
Questo discorso ovviamente vale per TUTTE le equazioni "parametriche".
.
Nel caso della equazione che hai scritto tu:
[math]kx^2+3kx+2k+1=0\\[/math]
.
il termine in "x" è:
3kx
ed il suo coefficiente è:
+3k .
Quindi se vogliamo che QUESTA equazione diventi "PURA" bisogna porre la condizione che il coefficiente del termine in "x" sia ZERO, cioè:
+3k = 0
cioè:
k = 0
.
perché un prodotto tra due numeri è ZERO se e solo se è ZERO almeno uno dei due fattori (o entrambi).
Qui
+3 NON è ZERO
quindi DEVE PER FORZA essere ZERO la "k".
Fammi sapere se così è più chiaro.
Carlo
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Non è questione di essere "scemi" e non penso affatto che tu possa esserlo. Il problema lo hai evidenziato tu: se ti mancano le basi, è chiaro che io parlo un'altra "lingua" che non puoi comprendere.
Purtroppo con un semplice post è veramente molto difficile colmare lacune così profonde: bisognerebbe tornare indietro a trovare un punto da cui ripartire, ma ci vuole tempo e soprattutto non si può fare a distanza
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