kingland93
kingland93 - Ominide - 27 Punti
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Piccolo aiuto per la tesina riguardante la materia di matematica. Io devo portare le disequazioni irrazionali e vorrei che qualcuno me le spiegasse semplicemente. So come si fanno, ma vorrei qualcosa di concreto da scrivere nella tesina e che posso spiegare facilmente. Grazie

ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Ciao kingland93, devo dire che la tua richiesta è molto sensata. Allora, vediamo di capire un po' di cosa potresti parlare: sicuramente potresti spiegare il metodo con cui si affrontano tali disequazioni, facendo però qualche ragionamento "concreto" sul perché, alla fine, arrivi a scrivere la risoluzione attraverso i vari sistemi.

Tralascio il caso in cui tu abbia una disequazione con radice di indice dispari (visto che lì non c'è discussione da fare e basta risolvere elevando ambo i membri in modo da eliminare la radice) e passo a discutere il caso con indice pari.

le disequazioni possibili sono due

Tipo 1)
[math]\sqrt[n]{f(x)} < g(x)[/math]
(o
[math]\le[/math]
)
Tipo 2)
[math]\sqrt[n]{f(x)} > g(x)[/math]
(o
[math]\ge[/math]
)

Le disequazioni del Tipo 1) presentano una particolarità: dal momento che la funzione radice di indice pari è definita, per costruzione, a valori positivi (e quindi in senso aritmetico e non algebrico), se la funzione
[math]g(x)[/math]
fosse negativa, avremmo l'assurdo di una quantità positiva minore di una negativa. Pertanto va imposta una prima condizione di risolubilità che è la seguente

[math]g(x)\ge 0[/math]

Una seconda condizione va imposta al fine di verificare l'esistenza della radice: poiché l'argomento deve essere non negativo, si deve imporre che

[math]f(x)\ge 0[/math]

Infine va imposta la disequazione equivalente che permette di determinare le risoluzioni effettive, cioè

[math]f(x) < [g(x)]^n[/math]

In definitiva il Tipo 1)si risolve col metodo seguente

[math]\left\{\begin{array}{l}
g(x)\ge 0\\ f(x)\ge 0\\ f(x) < [g(x)]^n
\end{array}\right.[/math]


Passiamo al Tipo 2): anche qui dobbiamo partire dal segno della funzione
[math]g(x)[/math]
, ma stavolta considerare sia il caso di segno negativo che di quello positivo.
Se allora partiamo dal considerare
[math]g(x)<0[/math]
, ci accorgiamo che la disequazione di Tipo 2) risulta già verificata, in quanto abbiamo una quantità positiva maggiore di una negativa: ciò a patto di rendere significativa la radice, e quindi di porre
[math]f(x)\ge 0[/math]
.

Se invece consideriamo
[math]g(x)\ge 0[/math]
, ci rendiamo conto che, almeno a priori, dobbiamo considerare sia la condizione di esistenza della radice, sia l'equazione equivalente, e quindi le due condizioni
[math]f(x)\ge 0,\qquad f(x)> [g(x)]^n[/math]

Tuttavia, notando che la funzione
[math]g(x)[/math]
, per posizione, risulta già essere positiva, ci possiamo convincere che di queste ultime due condizioni scritte basta considerare solo la seconda che implica, necessariamente, la prima. Pertanto, riassumendo, le disequazioni del Tipo 2) si risolvono la modo seguente

[math]\left\{\begin{array}{l}
g(x) < 0\\ f(x)\ge 0
\end{array}\right.\qquad\cup\qquad\left\{\begin{array}{l}
g(x) \ge 0\\ f(x) > [g(x)]^n
\end{array}\right.[/math]


Un'ultima considerazione: è ovvio che, risolvendo una disequazione irrazionale, ci si aspetta che sia la funzione sotto radice sia il segno della disequazione siano "fondamentali" al fine di risolvere le disequazioni stesse. Tuttavia, dalle considerazioni fatte, ci rendiamo conto che ancor più importante è il ruolo della funzione "fuori" radice, che guida, in un certo senso, la risoluzione. Questo è dovuto alla definizione della funzione radice in forma aritmetica e al fatto che bisogna sempre imporre che i vari termini risultino, tutti, positivi.
melody_gio
melody_gio - Tutor - 33011 Punti
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sposto in matematica, in modo tale che qualcuno dei nostri tutor ti possa aiutare!

Ciao,
Giorgia.
kingland93
kingland93 - Ominide - 27 Punti
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Grazie ciampax. Diciamo che ho anche trovato dei video su youtube che le spiegano simile a come le hai spiegate tu. Una cosa però, se scrivo tutto questo sulla tesina e poi lo spiego a parole mie...va bene comunque ?
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Certo che va bene, ma cerca comunque di usare un linguaggio il più "matematichese" possibile.
kingland93
kingland93 - Ominide - 27 Punti
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Eh, mi sarà un po difficile, non sono un gran "oratore" sai. Comunque grazie per l'aiuto. ;)
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Bé, cerca di usare quanto più possibile il testo che ti ho scritto, non dovresti avere problemi.
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