assuomaro
assuomaro - Ominide - 46 Punti
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Dimostra che in un triangolo isoscele ABC la somma delle distanze di un punto D della base AB dai due lati è uguale all'altezza AH relativa a uno di tali lati .(osserva la figura , nella quale il segmento DM è parallelo al lato BC: i segmenti DE e AG sono uguali). Come caso particolare verifica che in un triangolo equilatero la somma delle distanze di un punto di un lato dagli altri due lati è uguale all'altezza del triangolo. La figura è nell'allegato.

Grazie
BIT5
BIT5 - Mito - 28673 Punti
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Traccia la parallela a BC passante per D come suggerisce il problema.

Considera il triangolo DAM. Esso e' isoscele, in quanto DM e' parallelo a BC, l'angolo in A e' condiviso e gli altri due angoli sono congruenti perche' sono angoli corrispondenti relativi alle parallele BC e DM tagliati dalle trasversali AB e AC.

Pertanto ADM e' isoscele.

La distanza di D dai lati AC e BC e' il segmento perpendicolare ad AC e a BC.

Chiamiamo DF il segmento/distanza tra D e AC, e DG il segmento/distanza tra D e BC.

DF e' l'altezza del triangolo AMD, e siccome AH e' perpendicolare a BC (e quindi anche a DM perche' parallela a BC) allora detto K il punto di intersezione tra AH e DM, AK sara' l'altezza relativa a DM di ADM.

E siccome AMD e' isoscele, essa sara' lunga quanto DF (altezza relativa a AM)

Siccome DF=HK trattandosi di due parallele tagliate da altre due parallele (KHGD e' un rettangolo) avremo che:

AH=AK+KH

Ma AH=GD per quanto detto prima;
HK=DF in quanto lati del rettangolo

E quindi AH=GD+DF che e' la tesi.

Il caso generale si dimostra analogamente, ma sapendo che le altezze del triangolo equilatero sono tutte e tre congruenti, avrai la dimostrazione generale.

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