alessia9981
alessia9981 - Erectus - 117 Punti
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Salve ragazzi potete aiutarmi a risolvere il secondo punto di questo problema usando il metodo del delta uguale a zero
Ho provate tante volte ma ad un certo punto mi blocco
Grazie
nRT
nRT - Moderatore - 3325 Punti
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Ciao,
usando il metodo del
[math]\Delta = 0[/math]
bisogna stare attentissimi a non sbagliare i calcoli.
Il centro della circonferenza C lo trovi facendo il punto medio tra A e B:
[math]C=(2;-1)[/math]

per cui, dopo qualche passaggio, l'equazione della circonferenza diventa:

[math]x^2 + y^2 -4x +2y - 3 = 0 \\[/math]


Possiamo scrivere la generica retta r come:
[math]y = mx + q \\[/math]


e poniamo che passi per Q, per trovare q:

[math]1 = 8m +q \\
q = -8m + 1 \\

y= mx -8m +1

[/math]


Mettendo a sistema equazione della circonferenza e del fascio di rette (in pratica sostituisci la y della retta alla y della circonferenza):

[math]x^2 + (mx-8m+1)^2 -4x +2(mx-8m+1) -3 =0 \\
x^2 +m^2x^2 +64m^2 +1 -16m^2x +2mx -16m -4x +2mx -16m +2 -3 = 0 \\

(m^2+1)x^2 +4(-4m^2+m-1)x +64m^2 -32m=0 \\

[/math]


Ora poniamo:

[math]\Delta = 0 \\
\Delta = 16(-4m^2+m-1)^2 -4(m^2+1)32m(2m-1)=0 \\
\Delta = (-4m^2+m-1)^2 -8m(m^2+1)(2m-1)=0 \\
\Delta = 16m^4 +m^2 +1 -8m^3 +8m^2 -2m -16m^4 +8m^3 -16m^2 +8m = 0 \\
\Delta = -7m^2 +6m +1 = 0 \\
[/math]


Risolvi l'equazione di secondo grado:


[math]m= \frac{-6 \pm \sqrt{36+28} }{-14} \\
= \frac{-6 \pm 8}{-14} \\
= \frac{-3 \pm 4}{-7} \\
m = - \frac{1}{7} \vee m = 1 \\
[/math]


Sostituisci m al fascio di rette che avevamo trovato:

[math]y = mx - 8m + 1 \\
y = x -8 +1 \\
y = x - 7 \\
x-y-7 = 0 \\

y = - \frac{1}{7} x + \frac{8}{7} + 1 \\
y = - \frac{1}{7} x + \frac{15}{7} \\
7y = - x + 15\\
x + 7y - 15 = 0 \\[/math]

Spero ti possa essere stato utile. Ciao! :)
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