rossiandrea
rossiandrea - Eliminato - 298 Punti
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Ciao,
non riesco a trovare il doppio dell'intercetta all'origine della retta tangente, non parallela all'asse y, uscente dal punto
[math]P(2,8)[/math]
alla circonferenza
[math]x^2+y^2+2x-4y-4=0[/math]
.
Ho provato ad impostare il sistema con l'equazione della circonferenza e della retta, ma mi risulta complicato. Come faccio a giungere ad un'equazione di secondo grado in x dal momento che la circonferenza ha sia
[math]x^2[/math]
sia
[math]y^2[/math]
?
Qualcuno può aiutarmi, per favore?

Aggiunto 3 ore 6 minuti più tardi:

Finalmente sono riuscito.
Il fascio di rette passante per P è:


[math]y-8=m(x-2)\\
y=mx-2m+8[/math]


Sostituisco y nell'equazione della circonferenza:


[math]x^2+(mx-2m+8)^2+2x-4(mx-2m+8)-4=0\\
x^2+m^2x^2+4m^2+64-4m^2x+16mx-32m+2x-4mx+8m-32-4=0\\
(m^2+1)x^2+(-4m^2+12m+2)x+4m^2-24m+28=0[/math]


Pongo
[math]\Delta =0\\
(-4m^2+12m+2)^2-4(m^2+1)(4m^2-24m+28)=0\\
16m^4+144m^2+4-96m^3-16m^2+48m-16m^4+96m^3-112m^2-16m^2+96m-112=0\\
144m-108=0\\
m=3/4\\
y=3/4x+q\\
8=3/2+q\\
q=13/2\\
2q=13[/math]


Questa è la mia soluzione. Se qualcuno trova un modo più rapido o più semplice può comunque postarlo! :-)
mc2
mc2 - Genius - 14794 Punti
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Un metodo molto piu` semplice e` il seguente

Calcoli il centro ed il raggio della circonferenza:

[math]C=(-1,2)[/math]
,
[math]R=3[/math]

Calcoli la distanza della generica retta per
[math]P(2,8)[/math]
dal centro C della circonferenza: tale distanza deve essere uguale al raggio, e questo avviene solo se la retta e` tangente. In questo modo trovi m con una semplice equazione di primo grado.
Cosi`:

[math]d=\frac{|y_C-(mx_C-2m+8)|}{\sqrt{1+m^2}}=
\frac{|2+m+2m-8|}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{|3m-6|}{\sqrt{1+m^2}}
[/math]

Deve essere:

[math]\frac{|3m-6|}{\sqrt{1+m^2}}=3[/math]

[math]|m-2|=\sqrt{1+m^2}[/math]

[math]m^2-4m+4=1+m^2[/math]

[math]4m=3[/math]

[math]m=\frac{3}{4}[/math]


In generale l'equazione finale per m dovrebbe essere di secondo grado perche' le tangenti ad una circonferenza condotte da un punto esterno ad essa sono due.
In questo caso particolare una delle due tangenti e` verticale e non fa parte del fascio
[math]y=mx-2m+8[/math]
.
rossiandrea
rossiandrea - Eliminato - 298 Punti
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OK, capito. Grazie! :-)
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