drynnn
drynnn - Sapiens - 351 Punti
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Ciao a tutti , devo fare questo esercizio sulle successioni numeriche, la consegna è questa: verificare l'uguaglianza con il principio dell'induzione.

1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/n(n+1)=n/n+1

Non ho proprio capito come si fa...
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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sia p(n) la proposizione da dimostrare
il principio di induzione dice che se sono verificate le due condizioni:

1) p(1) vera
2) p(n) vera implica p(n+1) vera

allora p(n) è vera per ogni n

1)p(1) è vera in quanto in questo caso abbiamo solo il termine 1/1*2 che si può scrivere nella forma 1/(1+1)

2) consideriamo 1/1*2+1/2*3+........+1/(n+1)(n+2) che è la nostra p(n+1)
dobbiamo dimostrare che se è vera p(n) la somma appena scritta è uguale a
(n+1)/(n+2)

p(n+1)=p(n)+1/(n+1)(n+2)= n/(n+1)+1/(n+1)(n+2)=(n(n+2)+1)/(n+1)(n+2)=
(n^2+2n+1)/(n+1)(n+2)=(n+1)^2/(n+1)(n+2)=(n+1)/(n+2)

le 2 condizioni sono quindi verificate
allora p(n) è vera per ogni n
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