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insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ciao vorrei avere il vostro aiuto con la seguente funzione e il grafico

[math]
y(x)=log | \frac{ | x |+1}{ | x |-1} | [/math]

ho iniziato a calcolare il dominio e risulta essere:

[math] D=\{ x\in \mathbb{R}:x<-1, -1<x<1, x>1 \} [/math]

considerando che la funzione è pari la studio solo per x>0 perché il suo grafico è simmetrico rispetto al'asse y.

pertanto avremo che:
[math] log(\frac{x+1}{1-x})>0 [/math]
la funzione è positiva per 0 < x <1
e negativa per
x < 0 e x > 1.

mentre
[math] log(\frac{x+1}{x-1})>0 [/math]

è positiva per x > 1
negativa per x < 1

è giusto quello che ho fatto?
dopo cosa devo fare...
se mi potete aiutare mostrandomi i vari passaggi..
fatemi sapere..
grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := \log\left|\frac{|x| + 1}{|x| - 1}\right|\\[/math]
essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x \ne \pm 1 \right\}\\[/math]
e dal momento che si nota essere

[math]f(-x) = \log\left|\frac{|-x| + 1}{|-x| - 1}\right| = \log\left|\frac{|x| + 1}{|x| - 1}\right| = f(x)\\[/math]
si ha che
[math]f[/math]
è una funzione pari, ossia simmetrica rispetto all'asse delle
ordinate. Proprio per questo motivo è possibile studiare
[math]f[/math]
solamente per
[math]x \ge 0\\[/math]
e alla fine specchiare il tutto rispetto all'asse delle ordinate.
Quindi, considerando la funzione
[math]f^+ : [0,\,+\infty) \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f^+(x) := \log\left|\frac{x + 1}{x - 1}\right|\\[/math]
notando che si ha

[math]\begin{aligned} & f^+(0) = 0 \\ & f^+(x) = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x = 0 \end{aligned}\\[/math]
segue che il grafico di
[math]f^+[/math]
interseca gli assi solo nell'origine
[math]O(0,\,0)\\[/math]
.
Passando allo studio del segno di
[math]f^+\\[/math]
in
[math]\text{dom}[f^+][/math]
, si ha:
[math]f^+(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; 0 < x < 1 \, \vee \, x > 1\\[/math]
quindi
[math]f^+[/math]
è non negativa per
[math]\forall\, x \in \text{dom}[f^+]\\[/math]
.
Per quanto concerne lo studio di
[math]f^+\\[/math]
ai limiti del proprio dominio, si ha
[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 1^-} f^+(x) = + \infty\,, \; \; \; \lim_{x \to 1^+} f^+(x) = + \infty\,, \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f^+(x) = 0 \,, \end{aligned}\\[/math]
da cui consegue che
[math]f^+[/math]
presenta un asintoto verticale (destro e sinistro)
di equazione cartesiana
[math]x = 1[/math]
e un asintoto orizzontale di equazione
cartesiana
[math]y = 0\\[/math]
.
È il momento quindi di studiare il segno di
[math]{f^+}'[/math]
in
[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]
:
[math]{f^+}'(x) = \frac{2}{1 - x^2} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; 0 \le x < 1 \\[/math]
da cui segue che
[math]f^+[/math]
presenta un minimo relativo per
[math]x = 0[/math]
(che in
base allo studio ai limiti risulta essere punto di minimo assoluto per
[math]f^+\small [/math]
),
è crescente per
[math]0 < x < 1[/math]
, è decrescente per
[math]x > 1\\[/math]
.
Notando, inoltre, che si ha

[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 0^+} {f^+}'(x) = 2 \end{aligned}\\[/math]
per via della simmetria di
[math]f[/math]
rispetto all'asse delle ordinate, in
[math]O[/math]
risulta
avere un punto angoloso (dunque ivi non è derivabile), che risulta essere
minimo assoluto per
[math]f\\[/math]
(lo si noterà molto bene nel grafico!).
Infine, per quanto concerne lo studio del segno di
[math]{f^+}''[/math]
in
[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]
:
[math]{f^+}''(x) = \frac{4\,x}{\left(1 - x^2\right)^2} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; 0 \le x < 1 \, \vee \, x > 1\\[/math]
da cui segue che
[math]f^+[/math]
è convessa per
[math]\forall\,x \in \text{dom}[f^+]\\[/math]
.
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f\\[/math]
è
e questo conclude l'esercizio. ;)
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grazie mille
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