insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto con lo studio e il grafico della seguente funzione:

[math]f(x)=x\, \left ( log^{2}\left | x \right | -1\right )[/math]

Allora ho iniziato a risolverlo.

il dominio della funzione è:
[math]\left \{ \forall x\in \mathbb{R}, con\, \, x\neq 0 \right \}[/math]

la funzione risulta dispari poichè:
[math]f(-x)=-f(x)[/math]

pertanto basta studiare la funzione per x>0.

La funzione è positiva per x>0
e risulta
[math]f(x)=x(log^2 x-1)=0 [/math]
se e solo se
[math]log^2 x=1[/math]
,
cioe
[math]x=e[/math]
quindi il punto di intersezione con l'asse x è A(e,0).

Calcolo ora gli eventuali asintoti.
Si ha:

[math]\lim_{x\rightarrow +\infty }x\, \left ( log^{2}\left | x \right | -1\right )=+\infty [/math]

e

[math]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x\, \left ( log^{2}\left | x \right | -1\right )}{x}=+\infty [/math]

perciò non esiste ne asintoto orizzontale, ne asintoto obliquo.
Ma anche:

[math]\lim_{x\rightarrow 0^{+} }x\, \left ( log^{2}\left | x \right | -1\right )=0 [/math]

quindi non ha asintoto verticale.

Calcolo la derivata prima.
[math]f^{'}(x)= \left ( log^{2}x -1\right )+x\cdot 2\, \frac{logx}{x}=\left ( log^{2}x -1\right )+ 2\, logx= [/math]
[math]log^{2}x+ 2\, logx -1[/math]


fin qui è giusto quello che ho fatto?
ora mi sono bloccato con il segno della derivata prima..
se mi potete aiutare correggendo eventuali errori
e aiutandomi a continuare a svolgere l'esercizio..
fatemi sapere..
grazie..
FranceVige
FranceVige - Erectus - 67 Punti
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Ciao,

A
[math]f(x)=0[/math]
, in teoria hai 2 punti, non uno solo, proprio perché hai il quadrato che ti dà due valori.
Quindi, se non mi sbaglio, c'è anche
[math]1/e[/math]
che annulla ciò che hai nella parentesi.
Quindi hai che la funzione parte da 0, vale 0 in
[math]1/e[/math]
e in
[math]e[/math]
, in più hai che tra quei due valori la funzione è negativa e che non ha asintoti a +inf.
Il calcolo della derivata prima è giusta. Ora devi solo porre la derivata prima uguale a 0. Facendo ciò, otterrai i punti con derivata nulla quindi guardi prima o dopo di quel punto se si tratta di punto di massimo, minimo o flesso.
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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scusa ma nn sto capendo quello che hai
detto..
se puoi rispiegare facendo eventualmente
tutti i relativi passaggi...
inoltre come mi comporto con il valore
assoluto..
fammi sapere..
grazie..
FranceVige
FranceVige - Erectus - 67 Punti
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lo studio fatto finora è giusto, ti sei solo dimenticato che a f(x)=0 hai anche il valore x=1/e (questo perché hai log^2)
Il valore assoluto ti permette di avere anche il grafico dalla parte delle x negative (altrimenti per x<0 non ci sarebbe nulla), quindi puoi tranquillamente valutare l'andamento del grafico per x>0.
Adesso, avendo calcolato la derivata prima, studi quella per sapere i punti stazionari:

[math]f'(x)=0\\
log^2x+2logx-1=0\\
[/math]

poni
[math]t=logx[/math]
e ottieni:
[math]t^2+2t-1=0\\
t=-1\pm \sqrt{2}\\
x=e^{-1\pm \sqrt{2}} [/math]

Ottenuto ciò, guardi l'andamento:
hai
[math]x>0[/math]
per
[math]0 < x < e^{-1- \sqrt{2}}[/math]
e
[math]x>e^{-1+ \sqrt{2}}[/math]
,
[math]x<0[/math]
nel restante intervallo.
Da ciò puoi definire che:

[math]x=e^{-1-\sqrt{2}}[/math]
è punto di massimo, perché f'(x) è positiva prima del punto e negativa dopo
[math]x=e^{-1+\sqrt{2}}[/math]
è punto di minimo, perché f'(x) è negativa prima del punto e positiva dopo
Poi devi calcolarti la derivata seconda della funzione e la poni maggiore o uguale a 0, dove è maggiore di 0, la funzione ha la concavità rivolta verso l'alto.
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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allora per la derivata seconda abbiamo:

[math]f^{''}(x)=2\frac{logx}{x}+\frac{2}{x}=2\left ( \frac{logx+1}{x}\right )[/math]

ora studio

[math]2\left ( \frac{logx+1}{x}\right )>0[/math]


il segno della derivata seconda è positivo per

[math]x>\frac{1}{e}[/math]

La concavità e rivolta verso:

il basso per
[math]0 < x <\frac{1}{e}[/math]
l'alto per
[math]x >\frac{1}{e} [/math]


per il punto di flesso come faccio a calcolarlo?
fin qui è giusto quello che ho fatto..
ora come faccio a tracciare il grafico..
se mi puoi far sapere..
grazie.
FranceVige
FranceVige - Erectus - 67 Punti
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Allora riepiloghiamo cosa hai ottenuto finora:
1. la funzione è dispari
2. la funzione non ha asintoti né verso zero né a più infinito
3. la funzione è maggiore di zero per
[math]0 < x < \dfrac{1}{e}[/math]
ed
[math]x>e[/math]

3. la derivata prima vale:
[math]\log ^{2}x+2\log x-1=0[/math]
ed è maggiore di zero per
[math]0 < x < e^{-1-\sqrt{2}}[/math]
e
[math]x > e^{-1+\sqrt{2}}[/math]
. Quindi i due punti trovati sono, rispettivamente, di massimo e minimo
4. la derivata seconda vale:
[math]\dfrac{2}{x}\left(\log x+1\right)[/math]
e hai un flesso per
[math]x = \dfrac{1}{e}[/math]


Il punto di flesso è il punto per il quale f"(x)=0, poi guardi cos'hai prima e dopo: se la f" è positiva/negativa entrambe le parti, il punto non è di flesso; se la f" è positiva da una parte e negativa dall'altra o viceversa, allora il punto è di flesso (ovviamente cambia la concavità)

Ora che hai tutte queste informazioni, calcoli la f(x) con x uguale ai punti di massimo e minimo trovato, poi tracci una curva (quasi una parabola) che da 0 va al punto max e scende a
[math]x = \dfrac{1}{e}[/math]
, prosegui fino al punto di min e risali verso infinito più o meno verso l'alto, passando per il punto x=e.
Per la parte negativa, essendo dispari, devi solo invertire i segni.
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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scusami ancora..
ma non mi potresti ppstare
il disegno del grafico.
grazie.
FranceVige
FranceVige - Erectus - 67 Punti
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Ciao,
ho usato due colori per le due parti di grafico, la parte nera è quella trattata finora, mentre la parte rossa è perché la funzione è dispari.
insule23
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ok va bene
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