insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ciao vorrei avere il vostro aiuto con la seguente funzione e il grafico

[math]y(x)=arctg\frac{\left | x-1 \right |}{x-2} [/math]

ho iniziato a calcolare il dominio e risulta essere:

[math]D={ x\in \mathbb{R}:x \neq 2}[/math]

La funzione non è ne pari nè dispari.

è corretto quello che ho fatto?
come devo proseguire con lo studio della funzione
se mi potete aiutare mostrandomi i vari passaggi..
fatemi sapere..
grazie.
marcokrt
marcokrt - Erectus - 110 Punti
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Accidenti... bella funzione, complimenti :)

Il dominio è giusto, ma ora devi chiederti "cos'è arctg(a)?"
Risposta, arctg(a)=tg(a)^(-1)=1/tg(a).

Se sai fare la derivata di un rapporto e conosci quella di tg(a), direi che puoi procedere... il metodo è sempre il solito: derivi, poi cerchi i punti stazionari e studi se sono massimi o minimi, poi cerchi i flessi e vedi cosa succede agli estremi e se ci sono asintoti (magari obliqui)...

A me come derivata viene questo
(1-x)/[(2 x^2-6 x+5)*|(x-1)|]

Minimo -(pi/2) e massimo pi/2
Limiti: a -infinito vale -(pi/4) e a +infinito vale (pi/4)

Ovviamente la funzione in 2 non è derivabile... fa un bel saltino.
Prova a vedere cosa succede in x=1, giacché è il solo zero della funzione (ovvero il grafico della funzione tocca l'asse delle ascisse)... ti anticipo che anche lì non è derivabile ;)

Aggiunto 2 minuti più tardi:

P.S.
Se non ti ricordi la derivata di tg(x), parti da tg(x)=sin(x)/cos(x) e usi la formula classica della derivata del rapporto.

P.P.S.
La funzione, diversamente da quanto qualcuno potrebbe aspettarsi, NON è periodica.
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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scusami ma non sto riuscendo a capire nulla...
prima delle derivate non dovrei studiare la simmetria, l'intersezione con gli assi,e gli asintoti.
come mi devo comportare con la presenza del valore assoluto.
se mi potresti aiutare spiegandomi i vari passaggi..
grazie.
marcokrt
marcokrt - Erectus - 110 Punti
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L'ordine con il quale studi le varie parti può essere più o meno rigido, ma sì... fai come ti hanno insegnato, ordinando le varie parti di cui ti ho anticipato i risultati.

Il modulo non fa che far riflettere l'argomento rispetto all'asse delle ascisse (graficamente avviene questo). Puoi spezzarlo e studiare cosa accade per x<1 (il modulo cambia il segno dell'argomento) e per x>1 (puoi evitare di preoccupartene).

Studio delle intersezioni con l'asse delle ascisse.
arctg((|x−1|)/(x−2))=0-->arctg(0)=0 e dunque abbiamo uno zero della funzione.
Non ci sono altre intersezioni, giacché l'unico altro punto interessante potrebbe essere x=2, ma lo abbiamo già escluso dal dominio.

Andiamo dunque a studiare cosa accade subito prima di quel punto e subito dopo, con i limiti... i passaggi vedili tu, ma i risultati sono quelli che ti ho anticipato: la funzione per x-->2- vale -(pi/2) e per x-->2+ vale pi/2. Quindi prima del punto di non derivabilità hai una funzione negativa che tra x-->1+ e x-->2- continua a "scendere" passando da y(1)=0 a y(2-)=-(pi/2). In mezzo dovrebbe esserci un flesso obliquo... lo studi uguagliando a zero la derivata seconda... a quel punto risolvi in x e poi sostituisci quel valore in f(x) per trovare le sue coordinate cartesiane.

Come vedi quello che ti serve sapere sono nell'ordine:
- Dominio (già l'hai individuato);
- Zeri (uno solo, ovvero x=1);
- Cosa accade nell'intorno del punto di non derivabilità (la funzione "salta" da -(pi/2) a pi/2);
- Derivata prima e punti di massimo e minimo (sono quelli detti sopra);
- Cosa accade per x-->-inf e x-->+inf (in entrambi i casi hai due asintoti orizzontali, rispettivamente -pi/4 e pi/4, nel primo caso la funzione ci tende "da sopra", nel secondo "da sotto" e la derivata non cambia segno in (-inf, 1) e (2, +inf);
- Ci sono flessi obliqui? Si, uno quando la derivata cambia di segno nell'intervallo (1, 2), se ti interessa trovarlo, studia la derivata seconda come detto sopra.

Credo sia tutto :)
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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scusami ancora...
ma sto impazzendo..
potresti fare i vari passaggi
passo dopo passo..
per favore.
e se è possibile abbozzare il grafico.
grazie.
marcokrt
marcokrt - Erectus - 110 Punti
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E' abbastanza lungo fare tutto passo-passo, non ho proprio il tempo necessario oggi.

Per il grafico non ci sono problemi, il seguente è fatto con Wolfram|Aplha, così puoi avere un'idea precisa di cosa c'è e di cosa cercare:

Aggiunto 2 minuti più tardi:

P.S.
in 2 la funzione non esiste, quindi quell'asta verticale sarebbe più corretto non disegnarla proprio... non è una funzione continua su tutto R.

In x=1 e in x=2 non è derivabile, come puoi osservare.
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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OK..
cerco di postarlo io ed eventualmente se è possibile
mi dici se ci sono errori..
o magari aspetto domani se hai tempo.
fammi sapere.
grazie.
marcokrt
marcokrt - Erectus - 110 Punti
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Non posso svolgere io tutto l'esercizio... fai tu, se posso controllo.

Tanto hai veramente tutto, non ti servirebbe a nulla che lo svolgessi io in ogni passaggio (e non ne ho neppure il tempo).

Si tratta di fare la derivata prima e quella seconda, di uguagliare a zero e risolvere in x (e poco altro).
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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scusatemi ma sto impazzendo con tutti i calcoli..
c'è qualcuno che mi potrebbe aiutare..
grazie.
marcokrt
marcokrt - Erectus - 110 Punti
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Ti sembra che non ti abbia aiutato abbastanza? oO
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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si.. ma sto facendo confusione con i calcoli..
provo a rifarli e a spostarli..

Aggiunto 15 ore 48 minuti più tardi:

Allora ho risolto in tal modo:

Il dominio della funzione è:
[math] D={ x\in \mathbb{R}:x \neq 2} [/math]

Poichè compare la funzione assoluto, consideriamo le due funzioni:
[math] \left\{\begin{matrix}
f_{1}(x)=arct\left ( \frac{x-1}{x-2} \right ) & per\, \, x\geq 1\\
f_{2}(x)=arct\left ( \frac{1-x}{x-2} \right )& per\, \, x< 1
\end{matrix}\right. [/math]

La funzione non è nè pari nè dispari, pertanto non ha simmetrie.
Intersezione con gli assi

Asse X:

[math]f_{1}(x)=0\Leftrightarrow arctg\left ( \frac{x-1}{x-2} \right )=0\Leftrightarrow\left ( \frac{x-1}{x-2} \right )=0 [/math]

[math] \Leftrightarrow\frac{x-1}{x-2}=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1 [/math]
quindi A(1,0) è punto di intersezione con l'asse x.

Asse Y.

L'intersezione con l'asse Y si trova semplicemente ponendo x=0:
[math] f_{1}(0)= arctg \frac{1}{2} [/math]

Studiamo il segno delle due funzioni.
Per il segno di f 1 (x) otteniamo
[math] arct\left ( \frac{x-1}{x-2} \right ) > 0\Rightarrow x<1\vee x>2 [/math]

Per il segno di f 2 (x) otteniamo

[math] arct\left ( \frac{1-x}{x-2} \right ) > 0\Rightarrow 1 < x < 2 [/math]

Derivata prima e segno
[math] \left\{\begin{matrix}
f'_{1}(x)=\left ( \frac{1}{-2x^{2}+6x-5} \right ) & per\, \, x> 1\\
f'_{2}(x)=\left ( \frac{1}{5-6x+2x^{2}} \right )& per\, \, x< 1
\end{matrix}\right.
[/math]

La funzione assume valori maggiori di zero se x<1, valori minori di zero se x>1.
In x=1 massimo relativo. La funzione calcolato in x=1 vale 0.

Derivata seconda e segno
[math] \left\{\begin{matrix}
f''_{1}(x)=\left ( \frac{1}{(5-6x+2x^{2})^{2}} \right ) & per\, \, x> 1\\
f''_{2}(x)=\left ( \frac{1}{(2x^{2}-6x+5)^{2}} \right )& per\, \, x< 1
\end{matrix}\right. [/math]

La funzione assume valori maggiori di zero se x<1 e ,
[math] x>\frac{3}{2} [/math]

valori minori di zero se
[math] 1 < x < \frac{3}{2} [/math]

In
[math] x=\frac{3}{2} [/math]
punto di flesso.

puoi controllare se fatti bene i calcoli..
e tracciare il grafico della funzione.
fammi sapere.
grazie.
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