insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ciao vorrei avere il vostro aiuto con la seguente funzione e il grafico

[math]
y(x)= \frac{log^{2} | x|-1}{x} [/math]

ho iniziato a calcolare il dominio e risulta essere:

[math] D={ x\in \mathbb{R}:x< 0 , x>0} [/math]

la funzione è dispari.
l'intersezione con gli assi si ha soltanto con l'asse x,perchè quella con l'asse y(x=0) è esclusa dal dominio.

pertanto i punti di intersezione risultano:

[math] A(\frac{1}{e},0) [/math]
[math] B(e,0) [/math]


è corretto quello che ho fatto?
dopo cosa devo fare...
se mi potete aiutare mostrandomi i vari passaggi..
fatemi sapere..
grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ciò che hai calcolato è corretto, ottimo!! Ma a fronte di una decina di studi di funzione che ti ho risolto nel dettaglio non puoi scrivere nemmeno per scherzo "dopo cosa devo fare..." perché è una assurdità bella e buona!! Tanto per dire, questa è una funzione dispari, no? Bene, mettiti a tutto schermo questa risoluzione e ripercorrila passo-passo. Ti pare difficile? Suvvia, un po' di spirito, insule23!!
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ok hai ragione..
ora scrivo il mio svolgimento.
Studio il segno della funzione.
[math]
y(x)= \frac{log^{2} | x|-1}{x} >0 [/math]
La funzione risulta:
positiva per
[math] 0 < x < \frac{1}{e} [/math]
e
x > e .
negativa per x < 0 e
[math] \frac{1}{e} < x < e [/math]

calcolo i limiti agli estremi del dominio.
[math]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{log^{2}\left | x \right |-1}{x}=0[/math]
quindi y=0 è asintoto orizzontale

essendo
[math]m=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\frac{log^{2}\left | x \right |-1}{x}}{x}=0[/math]
poichè m deve essere diverso da zero, non esistono asintoti obliqui.

Per
[math]\lim_{x\rightarrow 0^{+} }\frac{log^{2}\left | x \right |-1}{x}=+\infty [/math]

allora x=0 è asintoto verticale.

La derivata prima è:
[math]y'(x)=\frac{2(logx)\cdot \frac{1}{x}\cdot x-(log^{2}(x)-1)}{x^{2}}=[/math]
[math]=\frac{2(logx) -log^{2}(x)+1}{x^{2}}[/math]

la derivata è:
crescente per
[math]e^{1-\sqrt{2}}<x<e^{1+\sqrt{2}}[/math]
decrescente per
[math]x < e^{1-\sqrt{2}}ed x>e^{1+\sqrt{2}}[/math]

abbiamo quindi
minimo relativo
[math]x=e^{1-\sqrt{2}}[/math]
massimo relativo
[math]x=e^{1+\sqrt{2}}[/math]


La derivata seconda è:
[math]y''(x)=\frac{2(-3+log(x)) log(x)}{x^{3}}[/math]

ed assume concavità rivolta
verso l'alto per
[math]0<x<1 \vee x>e^{3}[/math]
verso il basso per
[math]1<x<e^{3}[/math]


è corretto quello che ho fatto?
mi puoi dire se c'è qualcosa di sbagliato..
mi potresti aiutare a tracciare il grafico.
fammi sapere..
grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Come sopra scritto, abbiamo detto che basta studiare
[math]f[/math]
per
[math]x > 0[/math]
,
ossia studiare la propria restrizione
[math]f^+ : (0,\,+\infty) \to \mathbb{R}[/math]
definita da
[math]f^+(x) := \frac{\log^2 x - 1}{x}[/math]
, dove ovviamente il modulo lo possiamo "togliere"
e proposizioni del tipo "è negativa per x < 0" è priva di senso, in quanto
ivi la funzione
[math]f^+[/math]
che stiamo studiando non è definita!! Stesso discorso
quando scrivi dove è decrescente: scrivere solo
[math]x < e^{1 - \sqrt{2}}[/math]
è scorretto,
bensì occorre scrivere
[math]0 < x < e^{1 - \sqrt{2}}[/math]
. In ogni modo, per il resto dav-
vero molto bene. Ti faccio notare che quel minimo relativo che hai indivi-
duato, via dello studio ai limiti del dominio, risulta pure minimo assoluto
per
[math]f^+[/math]
; inoltre, non hai specificato i punti di flesso individuati dallo
studio della derivata seconda (che hai svolto correttamente).

Arrivati a questo punto, per tracciare il grafico è sufficiente assemblare tutte
le informazioni raccolte dallo studio di funzione: prima si traccia il grafico di
[math]f^+[/math]
, quindi lo si specchia rispetto all'asse delle ordinate, quindi rispetto a
quello delle ascisse (come mostrato nel dettaglio al link sopra riportato). ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ok va bene..
per i punti di flesso abbiamo che sono:

[math] x= 1 [/math]

e

[math] x= e^{3} [/math]

Per il grafico la tracciato in questo modo:

http://it.tinypic.com/r/mjw9k3/8


è corretto?
fammi sapere.
grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Per i flessi ok, mentre per quanto riguarda il grafico purtroppo quel link
non porta ad alcuna foto. In ogni modo, procedendo come descritto sopra,
zoomando nei pressi dell'origine il grafico di
[math]f\\[/math]
risulta essere il seguente:
dove è apprezzabile il punto di minimo relativo (e assoluto) della restrizione
[math]f^+[/math]
(e il suo simmetrico rispetto all'origine), mentre zoommando a "grande"
scala il grafico di
[math]f[/math]
risulta essere quest'altro:
dove è apprezzabile il punto di massimo relativo della
restrizione
[math]f^+\\[/math]
(e il suo simmetrico rispetto all'origine).
Fine. ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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grazie mille :-)
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