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insule23 - Sapiens - 528 Punti
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salve dovrei svolgere lo studio e il grafico della funzione:

[math]y\left ( x \right )=\frac{x}{1+log\left | x \right |}[/math]

ho cominciato a svolgerlo spezzando la funzione eliminando il valore assoluto

[math]\left\{\begin{matrix}
\frac{x}{1+log (-x) } & x<0 \\
\frac{x}{1+log (x) } & x>0
\end{matrix}\right.[/math]

calcolando il dominio ovvero:

[math]D=\left \{ x\in \mathbb{R}, x<-\frac{1}{e} \vee -\frac{1}{e}<x<0\vee 0<x<\frac{1}{e}\vee x>\frac{1}{e}\right \}[/math]


ora però non riesco a continuare..
non so come risolvere l'intersezioni con gli assi, calcolare il segno e i limiti per gli asintoti..
c'è qualche considerazione da fare per semplificare l'esercizio e i calcoli..
per favore se mi potete aiutare a continuare...
fatemi sapere..
grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := \frac{x}{1 + \log|x|}\\[/math]
essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x \ne 0, \; x \ne \pm \frac{1}{e} \right\}\\[/math]
e dal momento che si nota essere

[math]f(-x) = \frac{-x}{1 + \log|-x|} = -\frac{x}{1 + \log|x|} = - f(x)\\[/math]
si ha che
[math]f[/math]
è una funzione dispari, ossia simmetrica rispetto all'origine
degli assi. Proprio per questo motivo è possibile (leggasi: doverso) studiare
[math]f[/math]
solamente per
[math]x > 0[/math]
e alla fine specchiare il tutto rispetto all'asse
delle ordinate, quindi rispetto a quello delle ascisse.

Dunque, considerando la funzione
[math]f^+ : (0,\,+\infty) \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f^+(x) := \frac{x}{1 + \log x} \,,\\[/math]
per quanto concerne le intersezioni con gli assi cartesiani è evidente che
non ne esistono, mentre per quanto riguarda lo studio del segno, si ha:

[math]f^+(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; x > \frac{1}{e}\\[/math]
quindi
[math]f^+[/math]
è negativa per
[math]0 < x < \frac{1}{e}[/math]
, è positiva per
[math]x > \frac{1}{e}\\[/math]
.
Per quanto concerne lo studio di
[math]f^+\\[/math]
ai limiti del proprio dominio, si ha
[math]\begin{aligned} & \lim_{x \to 0^+} f^+(x) = 0 \,, \; \; \; \; \lim_{x \to \left(\frac{1}{e}\right)^-} f^+(x) = - \infty\,, \\ & \lim_{x \to \left(\frac{1}{e}\right)^+} f^+(x) = +\infty \,, \; \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f^+(x) = +\infty\,,\end{aligned}\\[/math]
da cui consegue che la retta di equazione cartesiana
[math]x = \frac{1}{e}[/math]
è asintoto
verticale (destro e sinistro) per
[math]f^+[/math]
, mentre non esiste asintoto orizzon-
tale: è possibile che vi sia un asintoto obliquo. Dato che

[math]\begin{aligned}
& m \overset{?}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{f^+(x)}{x} = 0 \\
\end{aligned}\\[/math]
ne consegue che non esiste nemmeno un asintoto obliquo.

È il momento quindi di studiare il segno di
[math]{f^+}'[/math]
in
[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]
:
[math]{f^+}'(x) = \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x \ge 1 \\[/math]
da cui segue che
[math]\small f^+[/math]
è decrescente per
[math]\small 0 < x < \frac{1}{e}[/math]
e per
[math]\small \frac{1}{e} < x < 1[/math]
,
presenta un minimo relativo
[math]M[/math]
per
[math]x = 1[/math]
, è crescente per
[math]x > 1\\[/math]
.
Notando, inoltre, che si ha

[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 0^+} {f^+}'(x) = 0 \end{aligned}\\[/math]
si deduce che ivi il grafico di
[math]f^+\\[/math]
presenta tangente orizzontale.
Infine, per quanto concerne lo studio del segno di
[math]{f^+}''[/math]
in
[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]
:
[math]{f^+}''(x) = \frac{1 - \log x}{x\left(1 + \log x\right)^3} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; \frac{1}{e} < x \le e\\[/math]
da cui segue che
[math]f^+[/math]
è concava per
[math]0 < x < \frac{1}{e}[/math]
, è convessa per
[math]\frac{1}{e} < x < e[/math]
, presenta un flesso
[math]F[/math]
per
[math]x = e[/math]
ed è nuovamente
concava per
[math]x > e\\[/math]
.
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f^+\\[/math]
è

specchiandolo rispetto all'asse dell ordinate, si ha


ed infine specchiando la parte tratteggiata rispetto all'asse delle
ascisse si ottiene finalmente il grafico di
[math]f\\[/math]
come da richiesta:
Lo studio di tale funzione può considerarsi concluso. ;)
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grazie mille :-)
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