insule23
insule23 - Sapiens - 529 Punti
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salve dovrei svolgere lo studio e il grafico della funzione:

[math]y(x)= (x-1)e^{-\left | x \right |}[/math]


ho cominciato a svolgerlo .

La funzione y è definita in
[math]\mathbb{R}[/math]
e non ha simmetrie.
Poichè la funzione esponenziale è positiva, il segno di y coincide con quello del polinomio
[math]x-1[/math]
,
dunque
[math]y(x)=0[/math]
per
[math]x=1[/math]
,
[math]y(x)>0[/math]
per
[math]x > 1[/math]

[math]y(x)<0[/math]
per
[math]x < 1[/math]

Infine
[math]y(0)=1[/math]


ora però come devo fare a calcolare i limiti per gli asintoti..
e successivamente le derivate e fare il disegno del grafico.
se per favore mi potete aiutare a continuare...
fatemi sapere..
grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := (x - 1)\,e^{- |x|} = \begin{cases} (x - 1)\,e^{x} & \text{se} \; x < 0 \\ (x - 1)\,e^{- x} & \text{se} \; x \ge 0 \end{cases}\\[/math]
essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \mathbb{R}\,,\\[/math]
dal momento che si ha

[math]\begin{aligned} & f(0) = - 1 \\ & f(x) = 0 \; \Leftrightarrow \; x = 1 \end{aligned}\\[/math]
ne consegue che il grafico di
[math]f[/math]
interseca gli assi cartesiani nei punti
[math]A(0,\,-1)[/math]
e
[math]B(1,\,0)[/math]
, mentre per quanto riguarda il segno di
[math]f[/math]
,
dato che si ha

[math]f(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; x > 1\\[/math]
ne consegue che
[math]f[/math]
è negativa per
[math]x < 1[/math]
, è positiva per
[math]x > 1\\[/math]
.
Per quanto concerne lo studio di
[math]f\\[/math]
ai limiti del proprio dominio, si ha
[math]\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\,, \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\,, \end{aligned}\\[/math]
ne consegue che
[math]f[/math]
non presenta asintoti verticali, bensì solamente un
asintoto orizzontale di equazione cartesiana
[math]y = 0\\[/math]
.
È il momento quindi di studiare il segno di
[math]f'[/math]
in
[math]\text{dom}[f]\\[/math]
. Dato che
[math]f'(x) = \begin{cases} x\,e^x & \text{se} \; x < 0 \\ (2 - x)\,e^{- x} & \text{se} \; x > 0 \end{cases}\\[/math]
si ha

[math]f'(x) \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; 0 < x \le 2\\[/math]
da cui consegue che
[math]f[/math]
è decrescente per
[math]x < 0[/math]
, è crescente per
[math]\small 0 < x < 2[/math]
, presenta un punto di massimo relativo M per
[math]\small x = 2[/math]
(e
dato che
[math]f(2) = e^{-2}[/math]
in base allo studio ai limiti si scopre essere
punto di massimo assoluto per
[math]f[/math]
), è decrescente per
[math]x > 2\\[/math]
.
Notando, inoltre, che

[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 0\,, \; \; \; \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 2 \end{aligned}\\[/math]
si deduce che in
[math]A[/math]
la funzione
[math]f[/math]
non è derivabile, bensì presenta
un punto angoloso; in base allo studio ai limiti si nota che tale punto
è di minimo assoluto per
[math]f\\[/math]
.
Infine, per quanto concerne lo studio del segno di
[math]f''[/math]
in
[math]\text{dom}[f][/math]
,
dato che

[math]f''(x) = \begin{cases} (x + 1)\,e^x & \text{se} \; x < 0 \\ (x - 3)\,e^{- x} & \text{se} \; x > 0 \end{cases}\\[/math]
si ha

[math]f''(x) \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; - 1 \le x < 0 \, \vee \, x \ge 3\\[/math]
da cui consegue che
[math]f[/math]
è concava per
[math]x < -1[/math]
, presenta un flesso
[math]F_1[/math]
per
[math]x = - 1[/math]
, è convessa per
[math]- 1 < x < 0[/math]
, è nuovamente
concava per
[math]0 < x < 3[/math]
, presenta un flesso
[math]F_2[/math]
per
[math]x = 3[/math]
, è
nuovamente convessa per
[math]x > 3\\[/math]
.
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f\\[/math]
è
e con questo direi che è tutto. ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 529 Punti
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grazie mille:-)
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