insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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salve mi servirebbe il vostro aiuto con questo esercizio.

Studiare e rappresentare la funzione:

[math]f(x)= x\, \sqrt{\frac{2x}{x+3}}[/math]

ho provato a svolgerlo.

L'insieme di esistenza ella funzione è dato dai valori di x che soddisfano la disequazione

[math]\sqrt{\frac{2x}{x+3}}\geq 0[/math]

cioè

[math]x< -3\vee x\geq 0[/math]

quindi la funzione è definita in

[math]D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}: x< -3\vee x\geq 0\right \}[/math]

Intersezioni con gli assi: interseca gli assi cartesiani nel solo punto
[math]O(0,0)[/math]

Per lo studio del segno abbiamo che f(x)>0 per ogni x del campo di esistenza in quanto un radicale è sempre positivo.

Ora dobbiamo calcolare i limiti agli estremi del C.E..
Abbiamo quindi:

[math]\lim_{x\rightarrow \pm \infty } x\, \sqrt{\frac{2x}{x+3}}\rightarrow \lim_{x\rightarrow \pm \infty } x\, \sqrt{\frac{x(2)}{x(1+\frac{3}{x})}} = \pm \infty \sqrt{2}= \pm \infty [/math]

fin qui è giusto?fatemi sapere..
non sò come fare con i limiti e le derivate..
se mi potete dare una mano per proseguire.
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, attenta che devi imporre il radicando maggiore o uguale a zero,
non il radicale; in ogni modo, il dominio che hai determinato è corretto.

Altrettanto corretta l'analisi sui punti di intersezione con gli assi, mentre
hai sbagliato lo studio del segno della funzione: ti sei dimenticata del fat-
to che la radice è moltiplicata per x. Tenendo conto di ciò, molto banal-
mente, si scopre che f è negativa per x minore di meno tre, non esistente
tra meno tre e zero, positiva per x maggiore di zero.

Per quanto concerne il calcolo dei limiti all'infinito: perfetto! Da tali ri-
sultati che ne deduci per quanto concerne l'esistenza o meno di asintoti
orizzontali e/o obliqui? Poi occorre calcolare il limite nei pressi di -3.

Forza, dai, che sei sulla buona strada. ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Allora possiamo dire che non esistono ASINTOTI ORIZZONTALI.

per quanto riguarda gli asintoti obliqui,
visto che:
[math]\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x\sqrt{\frac{2x}{x+3}}}{x}= \sqrt{2}[/math]

esiste un asintoto obliquo ed è nella forma
[math]y=q+\sqrt{2}x[/math]

calcolo
[math]q[/math]
come
[math]\lim_{x\rightarrow \infty }{x\sqrt{\frac{2x}{x+3}}}{x}-\sqrt{2}x= - \frac{3}{\sqrt{2}}[/math]

quindi l'ASINTOTO OBLIQUO è
[math]y = \sqrt{2}x-\frac{3}{\sqrt{2}}[/math]


per gli asintoti verticali considero:
[math]\lim_{x\rightarrow -3^{-}}x\sqrt{\frac{2x}{x+3}}=-\infty [/math]
e
[math]\lim_{x\rightarrow -3^{+}}x\sqrt{\frac{2x}{x+3}}=non\, \, esiste[/math]

pertanto per
[math]x=-3[/math]
esiste ASINTOTO VERTICALE SINISTRO;
considero anche:
[math]\lim_{x\rightarrow 0^{-}}x\sqrt{\frac{2x}{x+3}}=non\, \, esiste[/math]
e
[math]\lim_{x\rightarrow 0^{-}}x\sqrt{\frac{2x}{x+3}}=non\, \, esiste[/math]

pertanto per
[math]x=0[/math]
non ESISTE ASINTOTO VERTICALE.
Ora calcolo la derivata della funzione.
dapprima considero la derivata della radice:

[math]\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{2x}{x+3}}}\cdot \frac{2(x+3)-2x}{(x+3)^{2}}=[/math]

[math]\frac{1}{2}\cdot {\sqrt{\frac{x+3}{2x}}}\cdot \frac{2x+6-2x}{(x+3)^{2}}=[/math]

[math]\frac{1}{2}\cdot {\sqrt{\frac{x+3}{2x}}}\cdot \frac{6}{(x+3)^{2}}[/math]

quindi la derivata della funzione data risulta:

[math]f^{'}(x)={\sqrt{\frac{2x}{x+3}}}+x\left ( \frac{1}{2}\cdot {\sqrt{\frac{x+3}{2x}}}\cdot \frac{6}{(x+3)^{2}} \right )[/math]


è giusto quello che ho fatto?
dimmi se c'è qualche errore..
ora però non riesco a studiare il segno della derivata..
se mi puoi aiutare..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, perfetta la deduzione sulla non esistenza degli asintoti orizzontali
e altrettanto corretta la determinazione dell'equazione dell'asintoto obliquo.

Per quanto concerne la determinazione di eventuali asintoti verticali l'unico
limite interessante da studiare è quello per x tendente a meno tre da sinistra
che risultando meno infinito è indice del fatto che x=-3 è asintoto verticale
destro per f (ossia è posto a destra rispetto al grafico di f).

Per quanto concerne x=0 ivi la funzione sappiamo essere continua ( è preci-
samente un "punto di bordo" ) quindi innanzitutto è inutile calcolare tale li-
mite ma se per sport volessimo calcolarlo esso esisterebbe, varrebbe zero e
quindi avremmo l'ennesima conferma che x=0 non è asintoto verticale per f.

Per quanto concerne il calcolo della derivata prima, ripercorriamo i passaggi:

[math]\begin{aligned}
f'(x)

& = \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x\right)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + x\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}\right) \\

& = \sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + x\,\frac{1}{2}\left(\frac{2\,x}{x + 3}\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{2\,x}{x + 3}\right) \\

& = \sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + \frac{x}{2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}\,\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(2\,x\right)\,(x + 3) - (2\,x)\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x + 3\right)}{(x + 3)^2} \\

& = \sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + \frac{3\,x}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \\

& = \frac{(x + 3)^2\,\frac{2\,x}{x + 3} + 3\,x}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \\

& = \frac{x\,(2\,x + 9)}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \; .

\end{aligned}\\[/math]

A questo punto lo studio del segno di f' nel dominio di f è banale.

Forza, avanti, che stai andando alla grande!! ;)
insule23
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Allora studiamo il segno della funzione:
[math]f^{'}(x)=\frac{x\,(2\,x + 9)}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} [/math]

Le condizioni di esistenza sono:
[math]C.E.\, \, \forall X\in \mathbb{R}\, con\, x\neq -3\vee x\neq0[/math]

per il segno abbiamo:

[math]\frac{x\,(2\,x + 9)}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} > 0
[/math]

la funzione è:

[math]CRESCENTE\, \, per \, \, x< -\frac{9}{2}\vee -3< x< 0\vee x> 0[/math]

[math]DECRESCENTE\, \, per \, \, -\frac{9}{2}< X< -3
[/math]

Pertanto
[math]x= -\frac{9}{2}[/math]
è l'ascissa di un punto di massimo relativo.
Calcoliamo l'ordinata corrispondente
[math]f(-\frac{9}{2})=-\frac{9}{2}\sqrt{6}[/math]

[math]M\left ( -\frac{9}{2},\sqrt{6} \right )[/math]
è un punto del grafico di MASSIMO relativo.

inoltre

[math]x= -3[/math]
è l'ascissa di un punto di minimo relativo.
Calcoliamo l'ordinata corrispondente
[math]f(-3)=- 3\sqrt{6}[/math]

[math]m\left ( -3,-3\sqrt{-6} \right )[/math]
è un punto del grafico di MINIMO relativo.


Ora determiniamo la derivata seconda e studiamo il segno.

Calcoliamo la derivata seconda a partire dalla derivata prima scritta nella seguente forma:

[math]f^{'}(x)=\frac{2x^{2}+9x}{\sqrt{(x+3)^{4}\, \frac{2x}{(x+3)}}}[/math]

[math]\rightarrow \frac{2x^{2}+9x}{\sqrt{2x\left ( x+3 \right )^{3}}}[/math]

mi sono bloccato e non riesco a calcolare...
se mi potete aiutare anche con il segno...
inoltre quello che ho fatto fin qui è corretto?
fammi sapere..
se mi puoi aiutare.
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Qui sei andata/o nel pallone, vediamo di rimediare.

Dunque, per quanto riguarda lo studio del segno di
[math]f'[/math]
in
[math]\text{dom}[f]\\[/math]
, si ha
[math]f'(x) = \frac{x\,(2\,x + 9)}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x \le - \frac{9}{2} \, \vee \, x > 0\\[/math]
e dato che si nota anche che

[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 0^+} f'(x) = 0\end{aligned}\\[/math]
segue che
[math]\small f[/math]
cresce per
[math]\small x < - \frac{9}{2}[/math]
, presenta un punto di massimo relativo per
[math]x = - \frac{9}{2}[/math]
, decresce per
[math]- \frac{9}{2} < x < - 3[/math]
, non esiste per
[math]-3 \le x < 0[/math]
,
presenta un punto di minimo relativo per
[math]x = 0[/math]
, quindi cresce per
[math]x > 0\\[/math]
.
Infine, per quanto concerne lo studio di
[math]f''[/math]
in
[math]\text{dom}[f]\\[/math]
, si ha
[math]f''(x) = \frac{27}{2\,(x + 3)^3\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x > 0\\[/math]
quindi
[math]f[/math]
è concava per
[math]x < - 3[/math]
e convessa per
[math]x > 0\\[/math]
.
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f\\[/math]
è
Con questo direi che è davvero tutto. ;)
insule23
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Ok grazie..
Mi potresti mostrare i vari passaggi
per la derivata seconda..
Per favore nnriesco a capire come fare...
Anche con il segno della derivata seconda..
Se per favore mi potresti aiutare..
Grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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D'accordo...

[math]\small \begin{aligned}
f''(x)

& = \frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[x\,(2\,x + 9)\right](x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} - x\,(2\,x + 9)\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}\right]}{2\,x\,(x + 3)^3} \\

& = \frac{(4\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{2\,x\,(x + 3)} - \frac{2\,x + 9}{2\,(x + 3)^3}\left\{ \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[(x + 3)^2\right]\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + \\
+ (x + 3)^2\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}\right] \right\} \\

& = \frac{(4\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{2\,x\,(x + 3)} - \frac{(2\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{(x + 3)^2} - \frac{2\,x + 9}{2\,(x + 3)}\,\frac{1}{2}\left(\frac{2\,x}{x + 3}\right)^{-\frac{1}{2}}\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{2\,x}{x + 3}\right) \\

& = \frac{(4\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{2\,x\,(x + 3)} - \frac{(2\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{(x + 3)^2} - \frac{3\,(2\,x + 9)}{2\,(x + 3)^3\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \\

& = \frac{2\,x\,(4\,x + 9)\,(x + 3) - 4\,x^2\,(2\,x + 9) - 3\,x\,(2\,x + 9)}{2\,x\,(x + 3)^3\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \\

& = \frac{27}{2\,(x + 3)^3\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \, .

\end{aligned}\\[/math]
Ciò fatto, lo studio del segno di f'' nel dominio di f è banale. ;)
insule23
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grazie mille
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