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insule23 - Sapiens - 529 Punti
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salve ho dei problemi con lo studio e il grafico della funzione:

[math]y(x)=\left | x \right |\sqrt{log\, \left | x \right |}[/math]


ho cominciato a svolgerlo calcolando il dominio ovvero:

[math]D=\left \{ x\in \mathbb{R}:\, x\leq -1\, \vee \, x\geq 1 \right \}[/math]

e mi sono bloccato..
non so come proseguire essendoci due valori assoluti..
per favore se mi potete aiutare a continuare...
fatemi sapere..
grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := |x|\,\sqrt{\log|x|}\\[/math]
essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x \le - 1, \; x \ge 1 \right\}\\[/math]
e dal momento che si nota essere

[math]f(-x) = |-x|\,\sqrt{\log|-x|} = |x|\,\sqrt{\log|x|} = f(x)\\[/math]
si ha che
[math]f[/math]
è una funzione pari, ossia simmetrica rispetto all'asse delle
ordinate. Proprio per questo motivo è possibile studiare
[math]f[/math]
solamente per
[math]x \ge 1\\[/math]
e alla fine specchiare il tutto rispetto all'asse delle ordinate.
Quindi, indicando con
[math]f^+[/math]
la nostra funzione
[math]f[/math]
per
[math]x \ge 1[/math]
,
per quanto concerne l'intersezione dell'asse delle ascisse, si ha:

[math]f^+(x) = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x = 1\\[/math]
e quindi il grafico di
[math]f^+[/math]
interseca detto asse nel punto
[math]A(1,\,0)\\[/math]
.
Passando allo studio del segno di
[math]f^+\\[/math]
, si ha:
[math]f^+(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; x > 1\\[/math]
quindi
[math]f^+[/math]
è non negativa per
[math]\forall\, x \in \text{dom}[f^+]\\[/math]
.
Per quanto concerne lo studio di
[math]f^+\\[/math]
ai limiti, si ha
[math]\begin{aligned}\lim_{x \to +\infty} f^+(x) = +\infty \,, \end{aligned}\\[/math]
da cui consegue che non esiste asintoto orizzontale:
è possibile che vi sia un asintoto obliquo. Dato che

[math]\begin{aligned}
& m \overset{?}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{f^+(x)}{x} = +\infty \,, \\
\end{aligned}\\[/math]
ne consegue che non esiste nemmeno un asintoto obliquo.

È il momento quindi di studiare il segno di
[math]{f^+}'[/math]
in
[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]
:
[math]{f^+}'(x) = \frac{1 + 2\,\log x}{2\,\sqrt{\log x}} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x > 1 \\[/math]
da cui segue che
[math]f^+[/math]
è monotona crescente in
[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]
.
Notando, inoltre, che si ha

[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 1^+} {f^+}'(x) = +\infty \end{aligned}\\[/math]
si deduce che in
[math]A[/math]
il grafico di
[math]f^+\\[/math]
presenta tangente verticale.
Infine, per quanto concerne lo studio del segno di
[math]{f^+}''[/math]
in
[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]
:
[math]{f^+}''(x) = \frac{- 1 + 2\,\log x}{4\,x\,\sqrt{\log^3 x}} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x \ge \sqrt{e}\\[/math]
da cui segue che
[math]f^+[/math]
è concava per
[math]1 < x < \sqrt{e}[/math]
, presenta
un flesso per
[math]x = \sqrt{e}[/math]
ed è convessa per
[math]x > \sqrt{e}\\[/math]
.
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f\\[/math]
è
e questo conclude l'esercizio. ;)
insule23
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ok grazie mille :-)
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