alessre
alessre - Erectus - 148 Punti
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ciao a tutti,
mi potreste aiutare con lo studio e la rappresentazione della seguente funzione:

[math]f(x)= log \, \frac{x^{2}}{1+\left | x-1 \right |}[/math]

grazie
mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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Prima di tutto si specifica il valore assoluto:


[math]f(x)=
\left\{\begin{array}[c]{ll}
\log\frac{x^2}{1-(x-1)}=\log\frac{x^2}{2-x}~~~~~~~ & \mbox{per}~x < 1 \\
0 & \mbox{per}~x = 1 \\
\log\frac{x^2}{1+(x-1)}=\log\frac{x^2}{x}=\log x ~~~~~~~& \mbox{per}~x > 1 \\
\end{array}\right.
[/math]

La funzione logaritmo non e` definita per x=0.

Il dominio di f quindi e`
[math]\{\mathbf{R}-0\}[/math]


Studiamo i limiti:

[math]\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty[/math]


[math]\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty[/math]


[math]\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=-\infty[/math]


[math]\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-\infty[/math]


Per comodita` studiamo separatamente i due casi x>1 e x<1

Per
[math]x < 1[/math]

Derivata :

[math]f'(x)=
\frac{2-x}{x^2}\cdot\frac{2x(2-x)+x^2}{(x-2)^2}=
\frac{4x-x^2}{x^2(2-x)}=\frac{4-x}{x(2-x)}
[/math]

La derivata si annulla solo in x=4 che e` fuori dall'intervallo considerato (x<1).

Nell'intervallo x < 1 la derivata e` positiva per x>0, negativa per x<0.


Inoltre
[math]\lim_\limits{x\to 1^-}f'(x)=3[/math]


Derivata seconda:

[math]f''(x)=
-\frac{x^2-8x+8}{x^2(x-2)^2}
[/math]

f'' e` sempre negativa nell'intervallo x<1, quindi la concavita` e` sempre verso il basso.



Per
[math]x > 1[/math]

si tratta di una banale funzione logaritmo.

[math]f'(x)=\frac{1}{x}[/math]

[math]\lim_\limits{x\to 1^+}f'(x)=1[/math]

quindi il punto (1,0) e` angoloso.


Con queste informazioni non dovrebbe essere difficile disegnare il grafico
alessre
alessre - Erectus - 148 Punti
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Grazie del tuo aiuto.
Mi potresti dire come hai svolto i limiti della funzione.
Se mi puoi postare i passaggi.
Grazie.
mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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Ti faccio un esempio:

[math]\lim\limits_{x\to -\infty}\log\frac{x^2}{2-x}=
\log\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{x^2}{2-x}=+\infty
[/math]

Per
[math]x\to +\infty[/math]
e
[math]x\to 0[/math]
e` ancora piu` facile: e` la normale funzione logaritmo
alessre
alessre - Erectus - 148 Punti
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ok grazie mille
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