alessre
alessre - Erectus - 148 Punti
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ciao a tutti,
mi potreste aiutare con lo studio e la rappresentazione della seguente funzione:

[math]f(x)=\sqrt{\frac{x^{3}}{x-1}}[/math]


grazie
mc2
mc2 - Genius - 14193 Punti
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Per x=1 il denominatore si annulla

Per la realta` della radice occorre che il radicando sia positivo o nullo:

[math]\frac{x^3}{x-1}\ge 0~~~~\Longrightarrow~~~~x\le 0~ \vee ~ x > 1[/math]

Quindi il dominio di f e`
[math](-\infty,0] \cup (1,+\infty)[/math]


f(0)=0


Limiti:

[math]\lim_\limits{x\to \pm\infty}f(x)=+\infty[/math]

[math]\lim_\limits{x\to 0^-}f(x)=0[/math]

[math]\lim_\limits{x\to 1^+}f(x)=+\infty[/math]


Cerchiamo asintoti obliqui
[math]y=mx+q[/math]
:

[math]m=\lim_\limits{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_\limits{x\to -\infty}\frac{|x|}{x}\sqrt{\frac{x}{x-1}}=\lim_\limits{x\to -\infty}\frac{-x}{x}\sqrt{\frac{x}{x-1}}=-1[/math]


[math]q=\lim_\limits{x\to -\infty}[f(x)-mx]=
\lim_\limits{x\to -\infty}\left[-{x}\sqrt{\frac{x}{x-1}}+x\right]=
[/math]
[math]=\lim_\limits{x\to -\infty}\left[\frac{-\sqrt{\frac{x}{x-1}}+1}{\frac{1}{x}}\right]=
\lim_\limits{x\to -\infty}\frac{-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-1}{x}}\frac{x-1-x}{(x-1)^2}}{-\frac{1}{x^2}}=
[/math]
[math]=\lim_\limits{x\to -\infty}\sqrt{\frac{x-1}{x}}\frac{-x^2}{2(x-1)^2}=
\lim_\limits{x\to -\infty}-\frac{1}{2}\left[\frac{x}{x-1}\right]^{3/2}=-\frac{1}{2}[/math]


Asintoto obliquo sinistro:
[math]y=-x-\frac{1}{2}[/math]


In modo analogo si cerca l'asintoto obliquo destro:

[math]m=\lim_\limits{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_\limits{x\to +\infty}\frac{|x|}{x}\sqrt{\frac{x}{x-1}}=\lim_\limits{x\to +\infty}\frac{x}{x}\sqrt{\frac{x}{x-1}}=1[/math]


[math]q=\lim_\limits{x\to +\infty}[f(x)-mx]=
\lim_\limits{x\to +\infty}\left[{x}\sqrt{\frac{x}{x-1}}-x\right]=\dots=\frac{1}{2}
[/math]

Asintoto obliquo destro:
[math]y=x+\frac{1}{2}[/math]


Derivata:

[math]f'(x)=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-1}{x^3}}\frac{3x^2(x-1)-x^3}{(x-1)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{(x-1)^3}}(2x-3)[/math]

La derivata si annulla in x=3/2, e` positiva per x>3/2, negativa per x<3/2

[math]f(\frac{3}{2})=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/math]


Minimo relativo:
[math](\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}) [/math]


La derivata seconda e` piu` lunga da calcolare ma con un po' di pazienza ci si arriva e si trova che e` sempre positiva.
alessre
alessre - Erectus - 148 Punti
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OK grazie mille
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