insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ciao avrei bisogno del vostro aiuto su questo esercizio:

Si determini l'insieme di definizione e studio segno della seguente
funzione :



[math]f(x)=\left ( 2-e^{x}+2\sqrt{\left | e^{x} -1\right |} \right )\cdot log\left | \frac{2}{\pi } arcsin\frac{x}{x-1}\right |[/math]



Allora per quanto riguarda il dominio devo risolvere un sistema formato dalle condizioni di esistenza dei singoli fattori a primo membro, ovvero:


[math]\left\{\begin{matrix}
\left | e^{x}-1 \right |\geq 0 & (1)\\
-1\leq \frac{x}{x-1}\leq 1& \left ( 2 \right )\\
\left | \frac{2}{\pi }arcsin\frac{x}{x-1} \right |& \left ( 3 \right )
\end{matrix}\right.[/math]



per la (1) abbiamo che:
[math]\forall x\mathbb \in {R} [/math]

per la (2) ho risolto e mi viene:
[math]x\leq \frac{1}{2}[/math]


è giusto??
per la (3) non saprei come risolverla..
se mi potete aiutare..
grazie..
abdelhak.kabli.5
abdelhak.kabli.5 - Ominide - 21 Punti
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Sono esercizi differenti dai miei altrimenti ti avrei aiutata
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Per favore qualcuno che mi aiuti seriamente...
Grazie...
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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Non hai finito di scrivere la terza condizione.
Essendo argomento del logaritmo, deve esser posto maggiore di zero. Osserviamo,però, che è in valore assoluto perciò esso è equivalente a dire che
[math]\frac{2}{\pi}asin(\frac{x}{x-1}) \not=0 [/math]
...
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Ok abbiamo che:

[math] \frac{x}{x-1}\neq0\rightarrow x\neq0 [/math]

Quindi il dominio è uguale a:

[math] x\leq \frac{1}{2} con x\neq0 [/math]


è giusto???
Fatemi sapere..
Per quanto riguarda il segno cosa devo fare...
Sto impazzaendo..
Se mi potete aiutare con la risoluzione...
Grazie...
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Come fai a dire che il logaritmo è positivo...
E poi come risolvo la prima parentesi..
Se mi puoi spiegare meglio
e facendomi se possivile vedere tramite
passaggi...
Sto andando in confusione..
Se mi spiegheresti per bene il tutto
il segno della funzione...
Grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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Scusa, ero mezza addormentata ed ho detto una cavolata senza rendermene conto. Chiedo venia. Ignora quel commento.
Torniamo alla prima parentesi, avremo
[math]2-e^x+2\sqrt{|e^x-1|} \geq0[/math]

[math]\sqrt{|e^x-1|} \geq \frac{e^x-2}{2}[/math]

che si risolve tramite la risoluzioni di due sistemi:

\begin{cases}
\left | e^{x}-1 \right |\geq 0 \\
\frac{e^x-2}{2}<0 \\

\end{cases}

\begin{cases}
\left | e^{x}-1 \right |\geq (\frac{e^x-2}{2})^2 \\
\frac{e^x-2}{2}\geq0 \\

\end{cases}.

Per il logaritmo, invece
[math]|\frac{2}{\pi} asin \frac{x}{x-1}|>1 [/math]
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ok va bene e come si risolvono...
Mi potresti scrivere per favore tutti i passaggi..
Sto veramente impazzendo..
Grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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Sistema I:
la prima è sempre verificata, la seconda equivale a
[math]e^x<2[/math]
cioè
[math]x < ln2[/math]
.
Sistema II:
La seconda disequazione si risolv in modo analogo a quella precedente,mentre per risolvere la prima bisogna valutare i due casi:

[math]e^x-1 \geq (\frac{e^x-2}{2})^2 \\
e^x-1 \leq -(\frac{e^x-2}{2})^2 \\[/math]

per quanto riguarda il logaritmo anche qui abbiamo i due casi:
[math]\frac{2}{\pi}asin \frac{x}{x-1}>1 \\
\frac{2}{\pi}asin \frac{x}{x-1}<-1 \\[/math]

Se vuoi altri svolgimenti sii più specifico su dove è il problema
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ok fin qui è chiaro...
non riesco a risolvere le due disequazioni con l'esponenziale
e il fatto che nelle disequazioni con l'arcoseno ci sia quel
[math]2/pi[/math]
...
se per favore mi aiuteresti a completare l'esercizio..
grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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Poni
[math]e^x=t[/math]
e risolvi
[math] t-1\geq \frac{(t-2)^2}{4}[/math]
ed hai una semplice disequazione di secondo grado in t che ti darà
[math]t<4-2\sqrt2[/math]
e
[math]t>4+2\sqrt2[/math]
, cioè
[math]x<ln(4-2\sqrt2)[/math]
e
[math]x>ln(4+2\sqrt2)[/math]
.
Passimao all'arcoseno:
poni
[math]t=\frac{x}{x-1}[/math]
ed avrai
[math]arcsint \geq \frac{\pi}{2}[/math]
di cui dovresti conoscere la soluzione, a quel punto sostituisci la t con la funzione iniziale e risolvi in x.
PS. In entrambe le risoluzioni fare la sostituzione non è importante, è solo un modo per "vedere meglio" la soluzione.
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Allora io ho svolto e mi risulta che:

per il primo fattore ovvero la prima parentesi

[math]2-e^x+2\sqrt{|e^x-1|} \geq0\rightarrow \sqrt{|e^x-1|} \geq \frac{e^x-2}{2}[/math]

per cui le soluzioni dei due sistemi sono:
[math]x < ln 2 [/math]
[math]\vee[/math]
[math] x>ln\, \left ( 4+2\sqrt{2}\right )[/math]

per il logaritmo,invece, si ha:
[math]|\frac{2}{\pi} asin \frac{x}{x-1}|>1[/math]
da cui:


[math]\frac{2}{\pi}asin \frac{x}{x-1}>1 \\
e\\


\frac{2}{\pi}asin \frac{x}{x-1}<-1 \\[/math]

risolvendo la prima ottengo:

[math]asin \frac{x}{x-1}<- \frac{\pi}{2}[/math]


[math]\Rightarrow \frac{x}{x-1}<-1[/math]


[math]\Rightarrow \frac{1}{2} < x < 1[/math]

mentre per la seconda:
[math]asin \frac{x}{x-1}> \frac{\pi}{2}\Rightarrow \frac{x}{x-1}>1\Rightarrow x>1[/math]

unendo le due soluzioni ottengo che per il secondo fattore ovvero il logaritmo è verificato per
[math]x>\frac{1}{2}[/math]


è tutto giusto o c'è qualcosa di sbagliato...
ora come si conclude...
fammi sapere..
grazie..

Aggiunto 22 ore 31 minuti più tardi:

mi potete aiutare per favore...
fatemi sapere...
grazie...
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Ricapitoliamo: per il dominio bisogna imporre le condizioni

[math]|e^x-1|\ge 0,\quad \left|\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{x}{x-1}\right|, \quad -1\le\frac{x}{x-1}\le 1[/math]


le quali hanno soluzioni rispettive
[math]\forall\ x\in\mathbb{R},\ x\not=0,\ x\ge 1/2[/math]
. Pertanto il dominio risulta
[math]D=(-\infty,0)\cup\left(0,\frac{1}{2}\right][/math]


Per quanto riguarda la positività, dobbiamo risolvere separatamente le due disequazioni seguenti:

[math]2-e^x+2\sqrt{|e^x-1|}\ge 0\\ \log\left|\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{x}{x-1}\right|\ge 0[/math]


Iniziamo dalla prima, che si può riscrivere come

[math]\sqrt{|e^x-1|}\ge\frac{e^x-2}{2}[/math]


Dal momento che il radicando è sempre definito e che il termine a sinistra è sempre positivo, basta risolvere l'equazione elevando al quadrato, in quanto nel caso in cui il membro destro sia negativo, la disequazione viene automaticamente soddisfatta. Quindi

[math]|e^x-1|\ge\frac{1}{4}(e^{2x}-4e^x+4)\ \Rightarrow\ e^{2x}-4e^x-4|e^x-1|+4\le 0[/math]


Per risolvere, poniamo
[math]t=e^x[/math]
così da avere

[math]t^2-4t-4|t-1|+4\le 0[/math]


La disequazione si scompone in due casi, a seconda del comportamento del valore assoluto

CASO 1)
[math]t\ge 1[/math]
: abbiamo

[math]t^2-8t+8\le 0\ \Rightarrow\ 4-2\sqrt{2}\le t\le 4+2\sqrt{2}[/math]


che risulta compatibile con la condizione;


CASO 2)
[math]t<1[/math]
da cui
[math]t^2\le 0\ \Rightarrow\ t=0[/math]

che risulta anch'essa compatibile con la condizione.

In definitiva si hanno le soluzioni

[math]4-2\sqrt{2}\le t\le 4+2\sqrt{2},\quad t=0[/math]

e ricordando la posizione fatta

[math]4-2\sqrt{2}\le e^x\le 4+2\sqrt{2},\quad e^x=0[/math]

da cui, tenendo conto che la seconda non ha soluzioni

[math]\log(4-2\sqrt{2})\le x\le \log(4+2\sqrt{2})[/math]


Per la seconda disequazione si può scrivere

[math]\left|\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{x}{x-1}\right|\ge 1[/math]

e ancora

[math]\left|\arcsin\frac{x}{x-1}\right|\ge\frac{\pi}{2}[/math]

da cui

[math]-\frac{\pi}{2}\le\arcsin\frac{x}{x-1}\le\frac{\pi}{2}[/math]

Tale condizione è sempre verificata (per i valori del dominio) in quanto l'immagine della funzione arcoseno, per definizione, è l'intervallo
[math][-\pi/2,\pi/2][/math]
. pertanto la seconda funzione è sempre positiva e questo implica che la funzione di partenza è positiva dove lo è la prima.
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