insule23
insule23 - Sapiens - 529 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio.

Studiare e si rappresenti graficamente la seguente funzione:

[math]f(x)= log\, \, \frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}[/math]


ho risolto in questo modo.

Il dominio della funzione è:
[math]\left \{ x\in \mathbb{R}: x> 0 \right \}[/math]


ora non so come continuare...
se mi potete aiutare..
grazie
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := \log\left(\frac{e^x + 1}{e^x - 1}\right)\\[/math]
essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x > 0 \right\}[/math]

quindi il proprio grafico non interseca l'asse delle ordinate e dato che

[math]f(x) = 0 \; \Rightarrow \; \not\exists \, x \in \text{dom}[f][/math]

il grafico di
[math]f\\[/math]
non interseca nemmeno l'asse delle ascisse.
Per quanto concerne il segno di
[math]f\\[/math]
, si ha
[math]f(x) > 0 \; \Rightarrow \; \forall\,x \in \text{dom}[f] \; , \\[/math]
quindi
[math]f[/math]
è non negativa per qualsiasi
[math]x\\[/math]
reale positivo.
Passando allo studio di
[math]f\\[/math]
ai limiti, si ha
[math]\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\,, \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \end{aligned}\\[/math]
da cui segue che
[math]x = 0[/math]
e
[math]y = 0[/math]
sono rispettivamente
asintoto verticale (sinistro) e asintoto orizzontale per
[math]f\\[/math]
.
È il momento quindi di studiare il segno di
[math]f'[/math]
in
[math]\text{dom}[f]\\[/math]
:
[math]f'(x) = \frac{2\,e^x}{\left(1 + e^x\right)\left(1 - e^x\right)} \ge 0 \; \Rightarrow \; \not\exists \, x \in \text{dom}[f] \\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
decresce per ogni
[math]x > 0\\[/math]
.
Per quanto concerne lo studio del segno di
[math]f''[/math]
in
[math]\text{dom}[f]\\[/math]
:
[math]f''(x) = \frac{2\,e^x\left(1 + e^{2x}\right)}{\left(1 + e^x\right)^2\left(1 - e^x\right)^2} \ge 0 \; \Rightarrow \; \forall\,x \in \text{dom}[f]\\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
è convessa per qualsiasi
[math]x > 0\\[/math]
.
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f[/math]
è

Con questo direi che è davvero tutto. ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 529 Punti
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grazie mille :-)
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