marcoxz432
marcoxz432 - Ominide - 5 Punti
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Mi date una mano a calcolare:

-monotonia e punti di massimo e minimo
-concavità e punti di flesso

delle seguenti funzioni:
f(x)= (x+4)/(9-x^2)
f(x)= (9-x^2)/(x+4)
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
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Ti faccio vedere lo svolgimento per la prima funzione, per l'altra provaci da solo, seguendo l'esempio.


[math]f(x)=\frac{x+4}{9-x^2}[/math]


Il dominio della funzione e` tutto l'insieme dei numeri reali tranne quelli in cui si annulla il denominatore:
[math]9-x^2\neq 0[/math]
quindi
[math]x\neq \pm 3[/math]
.
Nei punti
[math]x=\pm 3[/math]
la funzione non e` definita, e si hanno asintoti verticali.
Il limite per
[math]x\to \pm\infty[/math]
e` 0, quindi c'e` l'asintoto orizzontale
[math]y=0[/math]


Calcoliamo la derivata:


[math]f'(x)=\frac{1\cdot(9-x^2)-(x+4)(-2x)}{(9-x^2)^2}=
\frac{9-x^2+8x+2x^2}{(9-x^2)^2}=
[/math]
[math]=\frac{x^2+8x+9}{(9-x^2)^2}[/math]

Il numeratore di
[math]f'[/math]
si annulla nei punti
[math]x=-4\pm\sqrt{7}[/math]
, il denominatore invece e` sempre positivo (sono sempre da escludere i punti
[math]x=\pm 3[/math]
)

Quindi

[math]\bullet[/math]
la derivata e` positiva (cioe` la funzione e` crescente) per
[math]x<-4-\sqrt{7}[/math]

[math]\bullet[/math]
la derivata e` negativa (funzione decrescente) per
[math] -4-\sqrt{7} < x < -3[/math]
e per
[math] -3 < x < -4+\sqrt{7}[/math]

[math]\bullet[/math]
la derivata e` positiva (funzione crescente) per
[math]-4 - \sqrt{7} < x < 3[/math]
e per
[math]x>3[/math]


[math]f(-4-\sqrt{7})=\frac{-4-\sqrt{7}+4}{9-16-7-8\sqrt{7}}=\frac{1}{8+2\sqrt{7}}[/math]


[math]f(-4+\sqrt{7})=\frac{-4+\sqrt{7}+4}{9-16-7+8\sqrt{7}}=\frac{1}{8-2\sqrt{7}}[/math]


La funzione percio` ha un massimo relativo nel punto
[math]A(-4-\sqrt{7}, \frac{1}{8+2\sqrt{7}})[/math]
, ed ha un minimo relativo in
[math]B(-4+\sqrt{7}, \frac{1}{8-2\sqrt{7}})[/math]


Derivata seconda:

[math]f''(x)=\frac{2(x^3+12x^2+27x+36)}{(9-x^2)^3}[/math]

Il numeratore ha un unico zero reale nel punto
[math]x_C\simeq -9.57[/math]
(si vede con una risoluzione grafica); il denominatore invece e` negativo per
[math]x< -3[/math]
e per
[math]x>3[/math]
, e` positivo per
[math]-3 < x < 3[/math]
.
La derivata seconda quindi e` positiva (concavita` verso l'alto) per
[math]x < x_C[/math]
e per
[math]-3 < x < 3[/math]
, e` negativa (concavita` verso il basso) per
[math]x_c < x < 3[/math]
e per
[math]x > 3[/math]
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