lol_edo
lol_edo - Erectus - 147 Punti
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Ciao a tutti,
stavo cercando di risolvere un esercizio per casa che consiste nello studiare il segno della funzione nel suo dominio.
Questa è la funzione:

[math]y=\frac{x-4}{x(1-x)^2}[/math]

Dopo aver calcolato il dominio:

[math]x\not{=}0[/math]
o
[math]x\not{=}1[/math]

E aver posto la funzione maggiore e uguale a zero, sono riuscito ad analizzare il numeratore:

[math]x\geq4[/math]

Ho dei problemi ad analizzare il denominatore:

[math]x(1-x)^2 \geq 0[/math]

Qualcuno mi saprebbe aiutarmi gentilmente a risolvere questo esercizio, considerando che il risultato che mi deve venir fuori è questo?

[math]x\leq0[/math]
unito a
[math]x\geq4[/math]
lachimica
lachimica - Genius - 2640 Punti
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il denominatore è un prodotto di due fattori
F1 = x
e
F2 = (1 - x)^2

F1 > 0 per x > 0

F2 > 0 per ogni x appartenente al Dominio (essendo un quadrato)

quindi il segno del denominatore dipende solo da F1, ossia:

N:-------------|+++++++++++
D:------|++++++++++++++++++
________0______4___________
N/D: (+)___(-)_____(+)_____

cioè N/D > 0 per x < 0 o x > 4
alessandroiannini2
alessandroiannini2 - Sapiens - 694 Punti
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ti consiglio , onde evitare confusione, di fare un diagramma (come illustrato sotto) sullo studio del segno per ogni fattore da analizzare (ricordo che un fattore e' un elemento di un prodotto), sia per il numeratore sia per il denominatore.

iniziamo con il numeratore
N=(x-4)

esso e' costituito da 1 solo fattore N=(x-4)
troviamo dove si annulla: x-4=0 => x=4
poiche' il coefficiente del termine di grado massimo (cioe' il coefficiente della x) e' 1, quindi e' positivo, N1 assume valori positivi a destra del punto dove si annulla.
quindi possiamo fare questo schemino

N=(x-4) - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + +
x x=4

Passiamo ora al denominatore
D=x(1-x)^2
possiamo scriverlo cosi'
D=x(1-x)(1-x)
quindi avremo 3 fattori:
D1=x
D2=1-x
D3=1-x
per ciascun fattore dobbiamo fare il piccolo diagramma
D1 si annulla in x=0 e il coefficiente della x e' positivo, quindi:

D1=(x) - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +
x 0

D2 si annulla in x=1 e il coefficiente della x e' negativo (infatti e' -1), quindi:

D2=(1-x) + + + + + + + + - - - - - - -
x 1

D3 e' uguale a D2

ora dobbiamo mettere insieme i diagrammi dei fattori del denominatore e calcolare il segno

D1 - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +
D2 + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - -
D3 + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - -
x 0 1
D=D1*D2*D3 - - - - - - - + + + + + + + + + + + +
quindi il denominatore e' negativo per x<0 e positivo per x>0

infine bisogna mettere insieme numeratore e denominatore
N - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + +
D - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
x 0 4
N/D + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - + + + + + + +

quindi la frazione intera e':
- positiva per x<0 e per x>4
- negativa per 0<x<4
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