a4321
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Buonasera ho svolto il seguente esercizio:
Studia la funzione y= 5x^2-2/ fratto -x^2+4
Non ho i risulatati a me viene asintoto verticale x=+-2 asintoto orizzontale=-5 graficamente non so che fare.
Il problema grande mi sorge con quest'altro esercizio in cui non riescp a trovare l'asintoto orizzontale perché mi viene una forma indeterminata: y=-x^2+x fratto x^2 -1. Non ho capito se devo procedere nella rispluzione della forma di indecisione.inoltre non mi è chiaro come si fa a disegnare la funzione. La prof ha fatto una specie di "archetti" nel piano cartesiano.
Vi sarei molto grata se mi aiutaste
Grazie mille grazie

Questa risposta è stata cambiata da TeM (25-01-16 23:41, 1 anno 7 mesi 28 giorni )
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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1. Data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := \frac{5\,x^2 - 2}{4 - x^2}\\[/math]
essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x \ne \pm 2 \right\}[/math]

e dal momento che si nota essere

[math]f(-x) = \frac{5\,(-x)^2 - 2}{4-(-x)^2} = \frac{5\,x^2 - 2}{4 - x^2} = f(x)\\[/math]
si ha che
[math]f[/math]
è una funzione pari, ossia simmetrica rispetto all'asse delle
ordinate. Proprio per questo motivo è possibile studiare
[math]f[/math]
solamente per
[math]x \ge 0\\[/math]
e alla fine specchiare il tutto rispetto all'asse delle ordinate.
Quindi, considerando la funzione
[math]f^+ : [0,\,+\infty) \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f^+(x) := \frac{5\,x^2 - 2}{4-x^2}\\[/math]
notando che si ha

[math]\begin{aligned} & f^+(0) = -\frac{1}{2} \\ & f^+(x) = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x = \sqrt{\frac{2}{5}} \end{aligned}\\[/math]
segue che il grafico di
[math]f^+[/math]
interseca gli assi in
[math]\left(0, \; -\frac{1}{2}\right)[/math]
e
[math]\left( \sqrt{\frac{2}{5}}, \; 0\right)\\[/math]
.
Passando allo studio del segno di
[math]f^+\\[/math]
in
[math]\text{dom}[f^+][/math]
, si ha:
[math]f^+(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; \sqrt{\frac{2}{5}} < x < 2\\[/math]
quindi
[math]f^+[/math]
è negativa per
[math]0 < x < \sqrt{\frac{2}{5}} \, \vee \, x > 2[/math]
e positiva per
[math]\sqrt{\frac{2}{5}} < x < 2\\[/math]
.
Per quanto concerne lo studio di
[math]f^+\\[/math]
ai limiti del proprio dominio, si ha
[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 2^-} f^+(x) = + \infty\,, \; \; \; \lim_{x \to 2^+} f^+(x) = -\infty\,, \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f^+(x) = -5 \,, \end{aligned}\\[/math]
da cui consegue che
[math]f^+[/math]
presenta un asintoto verticale (destro e sinistro)
di equazione cartesiana
[math]x = 2[/math]
e un asintoto orizzontale di equazione
cartesiana
[math]y = -5\\[/math]
.
È il momento quindi di studiare il segno di
[math]{f^+}'[/math]
in
[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]
:
[math]{f^+}'(x) = \frac{36\,x}{\left(x^2-4\right)^2} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; 0 \le x < 2 \, \vee \, x > 2 \\[/math]
da cui segue che
[math]f^+[/math]
è crescente per
[math]0 < x < 2 \, \vee \, x > 2[/math]
e
presenta un punto di minimo relativo per
[math]x = 0\\[/math]
.
Infine, per quanto concerne lo studio del segno di
[math]{f^+}''[/math]
in
[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]
:
[math]{f^+}''(x) = \frac{36\left(3\,x^2 + 4\right)}{\left(4-x^2\right)^3} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; 0 < x < 2\\[/math]
da cui segue che
[math]f^+[/math]
è convessa per
[math]0 < x < 2[/math]
e concava per
[math]x > 2\\[/math]
.
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f\\[/math]
è



2. Data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := \frac{x-x^2}{x^2-1}\\[/math]
essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x \ne \pm 1 \right\}\\[/math]
e interseca gli assi cartesiani nel solo punto
[math](0,\,0)\\[/math]
.
Per quanto concerne il segno di
[math]f\\[/math]
, si ha
[math]f(x) > 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; -1 < x < 0\\[/math]
quindi
[math]f[/math]
è negativa per
[math]x < -1 \, \vee \, 0 < x < 1 \, \vee x > 1[/math]
e
positiva per
[math]-1 < x < 0\\[/math]
.
Passando allo studio di
[math]f\\[/math]
ai limiti, si ha
[math]\begin{aligned} & \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = -1\,, \; \; \; \lim_{x \to (-1)^-} f(x) = -\infty\,, \\ & \lim_{x \to (-1)^+} f(x) = +\infty \; \; \; \lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = -\frac{1}{2}\,, \end{aligned}\\[/math]
da cui consegue che
[math]x = -1[/math]
è asintoto verticale ( destro e
sinistro) per
[math]f[/math]
, mentre
[math]y = -1[/math]
è asintoto orizzontale per
[math]f\\[/math]
.
È il momento quindi di studiare il segno di
[math]f'[/math]
in
[math]\text{dom}[f]\\[/math]
:
[math]f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} > 0 \; \Rightarrow \; \not\exists\,x \in \text{dom}[f]\\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
decresce per qualsiasi
[math]x \ne \pm 1\\[/math]
.
Per quanto concerne lo studio del segno di
[math]f''[/math]
in
[math]\text{dom}[f]\\[/math]
:
[math]f''(x) = \frac{2}{(x + 1)^3} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x > -1\\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
è convessa per
[math]x<-1[/math]
e
concava per
[math]-1 < x < 1 \, \vee \, x > 1\\[/math]
.
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f\\[/math]
è


Con questo direi che è davvero tutto. ;)


Nota: qualora non abbiate trattato le derivate ignora pure gli ultimi
due punti degli studi di funzione sopra sviluppati; in tal caso i grafi-
ci si possono tracciare solamente in maniera qualitativa.
a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Grazie mille! Le derivate non le abbiamo fatte il mio disastro è prevedere la concavità dei "pezzi" blu della funzione. Non so in base a cosa si fa una curva (mi riferisco a quella blu) concava o convessa? Non roezco a fugare questo dubbio.
Grazie mille
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Senza lo studio delle derivate vale la nota sopra scritta: non è possibile tracciare
minuziosamente il grafico, occorre accontentarsi di un grafico qualitativo, ossia
molto grezzo.

In particolare, tramite l'individuazione del dominio e lo studio del segno della
funzione è possibile individuare le porzioni di piano dove giace il grafico, le
intersezioni con gli assi, tramite lo studio delle simmetrie è possibile capire se
il grafico è speculare rispetto a qualche retta o punto, tramite lo studio dei limi-
ti è possibile individuare il comportamento della funzione al tendere di certi va-
lori e quindi come tracciare il grafico avvicinandoci a determinate rette.

Oltre a questo, ossia crescenza/decrescenza (con eventuali punti di minimo e
massimo) e la convessità/concavità (con eventuali punti di flesso), in generale
non è possibile pretendere dato che occorrerebbe studiare le derivate; fanno
eccezione i grafici di "funzioni notevoli" come potrebbe essere quello della se-
conda funzione di cui sopra, che una volta semplificata non si tratta altro che
di una funzione omografica (ossia il cui grafico è noto essere una iperbole).

È alla luce di tutto ciò che nel tracciare i cosiddetti "grafici qualitativi" occorre
lasciarsi guidare da accorgimenti legati al buon senso. Tanto per fare un esem-
pio, nello studio della prima funzione, se sappiamo che il grafico deve passare
per
[math]\left(0, \; -\frac{1}{2}\right)[/math]
e deve essere asintotico alle rette
[math]x = \pm 2[/math]
, il grafico non
può che essere molto simile a quello sopra riportato, non si ha la pretesa che
sia identico ma perlomeno che non presenti spigoli, sia bello liscio. In caso di
dubbio, vale sempre il sotterfugio di calcolarsi qualche "punto di passaggio".

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Grazie mille! Ma se la funzione non passa per esemlio per -2, la curva blu (perdoni il linguaggio) non può essere disegnata a partire da quel punto? Non so come spiegarmi. Ilproblema della concavità verso l'alto o il basso si risolve con le derivate? Se sì, cerco di studiarmele sul sito RipMat che mi ha consigliato.
Grazie mille
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Quello che intendevo dire sopra è che se non avete trattato le derivate allora sulla
concavità, in generale, non potete predire nulla e questo fatto la vostra insegnante
lo sa e quindi non lo può pretendere. In ogni caso, se a te scoccia questo fatto e ti
interessa fare uno studio di funzione completo, allora non c'è altra via se non quella
di studiare le derivate e un ottimo modo è quello di studiare qui. Ciò fatto sarai in
grado di sviluppare uno studio di funzione completo (come qui indicato) e quindi
tracciare dei grafici molto accurati.

Per qualsiasi difficoltà che incontrerai nello studio chiedi pure. ;)
a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Grazie mille guardi mi stavo disperando con la rappresentazione di queste tre funzioni allegate. C'è un programma o un'applicazione che li disegna automaticamente perché così mi posso correggere?
Grazie
Riscrivo le funzioni sono y=-x^2+2x fratto 2x^3+8x

Y=x^2-4x/ x^2-16
Y=x+1/x^2- 9

Aggiunto 7 minuti più tardi:

"Per quanto concerne lo studio del segno di f′′f″ in dom[f]dom[f] :
f′′(x)=2(x+1)3≥0⇔x>−1f″(x)=2(x+1)3≥0⇔x>−1
da cui segue che ff è convessa per x<−1x<−1 e
concava per −1<x<1∨x>1−1<x<1∨x>1 .
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di ff è

Ho prorpio qualche rotella che non funziona non capisco cosa ha fatto qui. Mi dovrò studiare le derivate
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Per poterti correggere in autonomia (e in caso di incongruenza rispetto a quanto
ti aspettavi basta chiedere qui) per gli studenti delle scuole superiori non c'è sto-
ria, c'è un leader indiscusso, ossia GeoGebra (ovviamente a livello "assoluto" vi
sono software più potenti, ma sono anche molto più complicati da utilizzare e
soprattutto non sono gratuiti; sarebbe come andare al supermercato in Ferrari:
nettamente una scelta irragionevole).

Clicca su tale link, scarica la versione adatta al dispositivo che stai utilizzando,
quindi avvia il programma. Per andare subito al sodo (per il resto è sufficiente
che cerchi con calma in rete e troverai guide, video tutorial e quant'altro) nella
barra di Inserimento in basso scrivi, ad esempio: y=(-x^2+2x)/(2x^3+8x) e clic-
ca Invio. Così facendo otterrai il grafico corretto della prima funzione che hai
proposto nel tuo ultimo intervento; tramite lo zoom potrai focalizzare per bene
l'attenzione in certe parti del grafico "interessanti" e inoltre, se hai un pc, tenen-
do premuto Maiusc e trascinando il mouse col tasto sinistro sugli assi cartesiani,
potrai modificare la scala mettendo così in risalto eventuali punti di massimo /
minimo altrimenti impercettibili.

Un paio di osservazioni. Innanzitutto nota quanto scritto in rosso: quello è il
modo corretto di scrivere in riga le funzioni razionali fratte, senza le parente-
si tonde si leggerebbe
[math]y = -x^2+2\,\frac{x}{2}\,x^3+8x[/math]
che capisci ben essere
tutt'altra funzione!! Infine, per quanto concerne quei passi da te incompresi,
prima occorre che tu sappia calcolare le derivate, poi ha senso sforzarsi nel
capirli. Vedi un po' se riesci a correggerti da sola. ;)
a4321
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Grazie mille non so perché il grafico viene diversamente scusi perché disturbo continuamente

Aggiunto 11 minuti più tardi:

Sbaglio le concavità...la prof le vuole giuste anche se non abbiamo fatto le derivate perché bisogna arrivarci con la testa... Una senza testa che fa? Ho bisogno di saperecome ragionare. A livello intuitivo come ci si arriva? Io faccio poche sostituzioni con i numeretti. Ma è un metodo inefficacee sciocco. C'è qualche metodo?
Grazie scusi ancora
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, innanzitutto attenta che la prima funzione che hai scritto sul foglio è
[math]y = \frac{-x^2+2\,x}{2\,x^2 + 8\,x}[/math]
e non
[math]y = \frac{-x^2+2\,x}{2\,x^3 + 8\,x}[/math]
come hai riportato poi sopra; forse è
per questo che non ti ritrovi col grafico.

In ogni modo, osserva che
[math]y = \frac{-x^2+2\,x}{2\,x^2 + 8\,x}[/math]
ponendo
[math]x \ne 0[/math]
equivale a
[math]y = \frac{-x+2}{2\,x + 8}[/math]
e analogamente per la seconda funzione
[math]y = \frac{x^2 - 4\,x}{x^2-16}[/math]
po-
nendo
[math]x \ne 4[/math]
equivale a
[math]y = \frac{x}{x+4}[/math]
. In altri termini, per le prime due
funzioni puoi studiare le "forme semplificate" e una volta tracciati i rispet-
tivi grafici è sufficiente "bucarli" rispettivamente in
[math]x=0[/math]
e in
[math]x=4\\[/math]
.
Non è tutto. Tali "forme semplificate" ricadono entrambe nella cosiddetta
famiglia delle funzioni omografiche, ossia del tipo
[math]y = \frac{a\,x + b}{c\,x + d}[/math]
, i cui grafi-
ci in base ai parametri
[math]a,\,b,\,c,\,d \in \mathbb{R}[/math]
sono noti essere o delle rette o più
frequentemente (questi sono i casi più interessati) delle iperboli equilatere.
È proprio alla luce di tale fatto che i grafici di tali funzioni la vostra docente
li esige tracciati accuratamente, in quanto si ritengono noti e quindi non ne-
cessitano dello studio delle derivate.

Purtroppo tale discorso non vale per la terza funzione che hai scritto sul foglio:
[math]y = \frac{x+1}{x^2-9}[/math]
, la quale non può essere semplificata come le prime due e quindi
va studiata più accuratamente. Ciononostante, visti gli asintoti che presenta non
è affatto difficile tracciarne il proprio grafico correttamente. Concordi? :)
a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Come fa la funzione a intersecare l'asse y?
Grzie per l'aiuto

Aggiunto 28 secondi più tardi:

Intendo la prima funzione
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Non lo interseca. Devi tener presente che le discontinuità di terza specie,
ossia quelle tali per cui il limite sinistro e destro coincidono ma nel punto
la funzione non esiste, non sono "contemplate" da alcun software (poten-
te o meno che sia). In altri termini, i "buchi" di cui ti ho parlato sopra devi
tenerne conto te (ma non credo sia difficile provvedere a ciò). ;)
a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Grazie mille! Però nell"applicazione l'asse y è intersecato. Continuano a non venirmi le concavità. Non so che cosa sia una funzione omografica. Scusi per aver disturbato tanto, i grafici li sbaglio ancora... Forse dovrei mollare. A quanto pare non li capisco.
Grazie mille

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Come faccio a sapere se la funzione sta sotto o sopra l'asintoto?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Certo che "nell'applicazione l'asse y è intersecato", ti ho scritto che non c'è alcun software che tenga conto delle discontinuità di terza specie, quindi sta a te individuarle e inserirle nei grafici su carta seppur il software non le indichi. Sul cosa sia una funzione omografica è sufficiente che cerchi tramite google, troverai immediatamente varie pagine dove ne schematizzano le proprietà salienti. Per quanto concerne la posizione della funzione rispetto all'asintoto lo si capisce dal limite. Per esempio,
[math]\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} - \frac{1}{x} = 0 \end{aligned}[/math]
e
[math]\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \end{aligned}[/math]
, ma nel primo caso è evidente che il grafico è posto sotto all'asintoto
[math]y=0[/math]
, mentre nel secondo caso è posto sopra. ;)
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