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  • similitudine : corde secanto e tangenti di una circonferenza dimostrazioni trapezio isoscele

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niccolo01
niccolo01 - Erectus - 53 Punti
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dimostrazione trapezio isoscele circoscritto : dimostra che se un trapezio isoscele è circoscritto a una circonferenza , allora il diametro della circonferenza è medio proporzionale tra le basi .
( se mi fate anche la figura mi fareste un altro favore ) . Grazie mille a chi mi risponde

antore91
antore91 - Genius - 24331 Punti
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Ciao,
partiamo dalla figura in allegato.
Osserviamo che il diametro della circonferenza è anche l'altezza del trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza.
Dobbiamo ,quindi, dimostrare che l’altezza è medio proporzionale tra la base maggiore e la base minore, cioè che sussiste la proporzione:
AB:HK=HK:CD

Iniziamo unendo il centro della circonferenza con i
punti A e D.
Notiamo che per il teorema delle tangenti DO è bisettrice dell'angolo CDA e quindi gli angoli TDO e CDO sono uguali e AO è bisettrice dell’angolo DAB e di conseguenza TAO = OAB.

Ora, essendo CDA e DAB due angoli supplementari, si ha:

CDA + DAB = 180°

e quindi:

2TDO + 2TAO = 180°

da cui

TDO + TAO = 90°

ovvero i due angoli alla base del triangolo sono complementari.
Ricordando infine che la somma degli angoli interni di un triangolo e 180° possiamo concludere che l'angolo AOD è un angolo retto.

Quindi essendo T il punto di tangenza, il segmento OT è
perpendicolare ad AD, ovvero OT è altezza per il triangolo DOA.
Per il secondo Teorema di Euclide abbiamo che:

AT : OT = OT : TD

Ora, sempre per il teorema delle tangenti abbiamo che:

AT = AK e TD = DH

Sostituendo nella proporzione precedente:

AK : OT = OT : DH

Moltiplicando tutto per 2:

2AK:2OT=2OT: DH

Ora:

2AK = AB, 2DH = CD, ZOT = HK

e quindi:

AB:HK=HK:CD

che è quello che volevamo provare.

Spero di esseri stato di aiuto.
Saluti :-)

Aggiunto 3 minuti più tardi:

La figura:

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