patty18
patty18 - Ominide - 25 Punti
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allora ho capito il meccanismo del calcolo dei punti di discontinuità...unico problema quando calcolo il limite sinistro e destro creo confusione
allora
chi mi prova a spiegare il limite dei punti di discontinuità di questa funzione spiegandomi di che specie è?

y)x^2-x-2/x^2-3x+2
allora dominio è che x sia diverso da 2 e che x sia diverso da 1

ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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La funzione è

[math]f(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2-3x+2}[/math]

Il suo dominio risulta

[math]x^2-3x+2\neq 0\ \Rightarrow\ x\neq 1,\ x\neq 2[/math]

e quindi

[math]D=(-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)[/math]

Tieni inoltre presente che, per
[math]x<1,\ x>2[/math]
il denominatore risulta positivo, mentre per
[math]1<x<2[/math]
esso risulta negativo.
Ora per il calcolo dei limiti si ha

[math]\lim_{x\to 1^-} f(x)=\frac{-2}{0^+}=-\infty\\
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\frac{-2}{0^-}=+\infty[/math]

per cui il punto
[math]x=1[/math]
è di discontinuità di seconda specie. Inoltre
[math]\lim_{x\to 2} f(x)=\frac{0}{0}[/math]

cioè si presenta in forma indeterminata. Questo vuol dire che il numeratore è divisibile per
[math]x-2[/math]
e infatti si ha
[math]x^2-x-2=(x-2)(x+1)[/math]
.
Ma allora, essendo pure
[math]x^2-3x+2=(x-1)(x-2)[/math]
si ha
[math]\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x-1)}=
\lim_{x\to 2}\frac{x+1}{x-1}=3[/math]

Ne segue che il punto
[math]x=2[/math]
è di discontinuità eliminabile (terza specie) e si può porre
[math]\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
f(x) & & x\neq 2\\ & & \\ 3 & & x=2
\end{array}\right.[/math]

per eliminare la discontinuità.

Questa risposta è stata cambiata da The Mascheroni CAD Team (20-01-13 20:12, 5 anni 10 mesi 24 giorni )
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