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carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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L'equazione dell'iperbole generica è:
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[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math]
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quindi, avendo DUE parametri ignoti (a e b), dobbiamo creare un sistema di DUE equazioni in DUE incognite, appunto a e b.
La prima la troviamo imponendo la condizione che passi per il punto
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[math]P=(-\sqrt7 ,3)[/math]
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quindi sostituendo questi valori al posto della x e della y troviamo:
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[math]\frac{(-\sqrt7)^2}{a^2}-\frac{(3)^2}{b^2}=1\\\frac{7}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1\\7b^2-9a^2=a^2b^2[/math]
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Per la seconda equazione sfruttiamo la formula per calcolare l'eccentricità:
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[math]e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=2\\\sqrt{(a^2+b^2)}=2a\\a^2+b^2=4a^2\\3a^2=b^2\\a^2=\frac{b^2}{3}[/math]
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Ora sostituiamo questo valore nella prima equazione:
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[math]7b^2-9a^2=a^2b^2\\7b^2-9(\frac{b^2}{3})=(\frac{b^2}{3})b^2\\7b^2-3b^2=\frac{1}{3}b^4\\\frac{1}{3}b^4-4b^2=0\\b^2(\frac{1}{3}b^2-4)=0\\da\ cui\ ricaviamo\\b^2=0\\e\\\frac{1}{3}(b^2-4)=0\\b^2=4\\b=\pm2[/math]
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N.B. RICONTROLLA I CALCOLI perché li ho fatti in fretta e furia e non vorrei aver sbagliato qualche digitazione in Latex, comunque spero che ti sia chiaro il procedimento.
Fammi sapere.
Carlo
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