vally32
vally32 - Genius - 2556 Punti
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Salve a tutti,
riuscite gentilmente a risolvermi e spiegarmi questa scomposizioni in fattori di un polinomio, perchè ho capito il metodo (bisogna trovare il quadrato di due fattori e il terzo è il doppio prodotto dei due quadrati, giusto?), ma il risultato di questo non è uguale a quello che dice il mio libro e credo di non aver capito molto bene il procedimento su questo tipo.

[math] 9/7 a^2b^2c^2 + 6/7 a^2b^2c + 1/7 a^2b^2 [/math]


Il risultato dovrebbe essere:
[math]1/7 a^2b^2 • (3c + 1)^2[/math]


Altro dubbio, se io ho per esempio
[math]x^3 + 14 x^2y + 49xy^2[/math]
il quadrato di
[math]x^3[/math]
è
[math]x[/math]
? E il quadrato di
[math]49xy^2[/math]
è
[math]7y[/math]
, giusto? Se io ho numeri che non possono essere divisibili interamente, cosa devo fare? Tipo se ho un
[math]a^7[/math]
?

Ultima cosa, queste scomposizioni non possono effettuarsi, vero?
[math]25-15b+9b^2[/math]
e
[math]4/9 a^6 - 4/3a^3 + 1[/math]
, perchè il doppio prodotto non è quello corrisposto, o mi sbaglio?

Scusate per i mille dubbi,
Grazie mille :) :D
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 24950 Punti
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Ciao!
Semplicemente, nel polinomio
[math]9c^{2}+6c+1[/math]
ci sono dei quadrati perfetti? Ebbene sì è sono
[math]9c^{2}[/math]
(la cui base è
[math]3c[/math]
perché
[math](3c)^{2}=9c^{2}[/math]
) ed
[math]1[/math]
, poiché
[math]1[/math]
è quadrato di se stesso. Dobbiamo poi verificare se
[math]6c[/math]
è il doppio prodotto, ebbene, ricordando la regola, “... il doppio prodotto del primo per il secondo termine...”, abbiamo:
[math]2\cdot(3c)\cdot 1=6c[/math]
. A questo punto, abbiam scoperto che si tratta di un quadrato di un binomio, e quindi si può scrivere come
[math](3c+1)^{2}[/math]
.

Ma scusa? Noi abbiam trovato il quadrato di un binomio, il quale risulta essere
[math](5-3b)^{2}[/math]
? Il doppio prodotto si ottiene da
[math]2\cdot 5\cdot (-3b)=-30b[/math]
, quindi, non risulta essere un quadrato di un binomio (scusami, ieri sera son andato di fretta).

Per quanto riguarda l'ultimo, invece, il quadrato del binomio lo abbiamo, perché
[math]2\cdot \frac{2}{3}a^{3} \cdot (-1)=-\frac{4}{3}a^{3} [/math]
.
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 24950 Punti
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Ciao!
Allora, devi mettere in evidenza (messa in evidenza totale) i coefficienti che hanno in comune tutti i polinomi. Consideriamo:

[math]\frac{9}{7}a^{2}b^{2}c^{2}+\frac{6}{7}a^{2}b^{2}c+\frac{1}{7}a^{2}b^{2}[/math]
.

Cosa ha in comune questo trinomio?
[math]\frac{1}{7}a^{2}b^{2}[/math]
, quindi mettiamolo in evidenza e dividiamo ogni termine per quest'ultimo coefficiente.

[math]\frac{1}{7}a^{2}b^{2}\left(9c^{2}+6c+1\right)[/math]
. Come vedi, il trinomio in parentesi, non è altro che la semplificazione del quadrato di un binomio, quindi scomponiamolo:

[math]\frac{1}{7}\left(3c+1\right)^{2}[/math]
.

Passiamo al secondo esempio da te proposto:
[math]x^{3}+14x^{2}y+49xy^{2}[/math]
. È assolutamente sbagliata la tua affermazione, poiché bisogna, anche in questo caso, applicare la messa in evidenza totale, poichè i termini hanno in comune la
[math]x[/math]
.

[math]x\left(x^{2}+14xy+49y^{2}\right)[/math]
. Anche in questo caso, il trinomio in parentesi risulta essere il quadrato di un binomio. Dunque:

[math]x\left(x+7y\right)^{2}[/math]
. Lo stesso dovresti fare se avessi un polinomio con
[math]a^{7}[/math]
, basta ricordare di mettere in evidenza il termine comune a tutti i coefficienti con esponenti letterali minori.

Passiamo al terzo esempio. Il polinomio
[math]P(x):25-15b+9b^{2}[/math]
è scomponibile. Sai perché? Devi porti sempre questa domanda:“Nel polinomio, vi sono dei quadrati perfetti?”, ebbene sì, e sono:
[math]25+9b^{2}[/math]
, le cui basi (cioè i termini che elevati al quadrato danno il termine ricercato) sono:
[math]5+3b[/math]
, con segno negativo poiché nel polinomio compare il termine del doppio prodotto negativo. Quindi:
[math]P(x): (5-3b)^{2}[/math]
.

Anche l'altro polinomio è scomponibile in
[math]\left(\frac{2}{3}a^{3}-1\right)^{2}[/math]
, tocca a te capire come l'ho ottenuto.
vally32
vally32 - Genius - 2556 Punti
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Il primo procedimento per il primo esempio (semplificare) l'ho capito, ma poi non riesco a capire come hai fatto a scomporre il polinomio.. Il
[math] 3c + 1 [/math]
non mi viene.. Vorrei capire il procedimento che hai usato :) Il secondo esempio è chiaro, il terzo però mi suona strano perché in teoria il terzo fattore dovrebbe essere il doppio prodotto dei due quadrati e in quel caso non sono il doppio prodotto.
Esempio:
[math]5 • 3b • 2 = 30b[/math]
mentre il fattore è 15b, stessa cosa con anche l'altro esempio :/
Grazie mille per la risposta ;)
vally32
vally32 - Genius - 2556 Punti
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Giustissima affermazione, ho finalmente capito! E per l'ultimo esempio avevi ragione non avevo fatto il doppio prodotto e mi ero confusa. Grazie mille ;) ;)
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