Nestlè
Nestlè - Erectus - 52 Punti
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Ragazzi per favore spiegatemi il seguente problema :

Determina le equazioni delle circonferenze di raggio 5,passanti per l'origine degli assi cartesiani e per il punto P(7;7).
Trova le intersezioni,dette A e B,con l'asse x,diverse dall'origine,delle due circonferenze.
Scrivi le equazioni delle tangenti in A e in B alle corrispondenti circonferenze.

/ x2+y2-6x-8y=0 ; x2+y2-8x-6y=0 ; A(6;0) ; B(8;0) ; y=3\4x-9\2 ; y=4\3x-32\3 \

GRAZIE MILLE ...

Aggiunto 12 ore 25 minuti più tardi:

Più o meno ho capito tutto ... ti ringrazio per l'aiuto !
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
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Data l'equazione canonica della circonferenza

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

Dobbiamo trovare le circonferenze che passino per i punti O (0,0) e P(7,7) e aventi raggio 5.

a) condizione di passaggio per O:

[math] 0^2+0^2+a0+b0+c=0 \to c=0 [/math]

L'equazione si ridurra' dunque a
[math] x^2+y^2+ax+by=0 [/math]

b) condizione di passaggio per P

[math] 7^2+7^2+7a+7b=0 \to 49+49+7a+7b=0 \to \\ \\ \to 7a=-7b-98 \to a=-b-14 [/math]

E dunque

[math] x^2+y^2+(-b-14)x+by=0 [/math]

Infine il raggio sappiamo essere:

[math] r= \sqrt{\(- \frac{a}{2} \)^2 + \( - \frac{b}{2} \)^2 -c} [/math]

E dunque

[math] 5= \sqrt{ \( \frac{-b-14}{2} \)^2 + \( \frac{b}{2} \)^2 [/math]

E quindi

[math] 5= \sqrt{ \frac{b^2+28b+196}{4} + \frac{b^2}{4}} [/math]

Ovvero

[math] 5= \sqrt{\frac{2b^2+28b+196}{4}} \to 5= \sqrt{ \frac{b^2+14b+98}{2}} [/math]

Pertanto elevando al quadrato ambo i membri

[math] 25= \frac{b^2+14b+98}{2} \to 50=b^2+14b+98 \to b^2+14b+48=0 [/math]

Che avra' come soluzioni

[math] b= -7 \pm \sqrt{49-48} = -7 \pm 1 [/math]

E quindi b=-6 e b=-8

Da cui

[math] a_1=-b-14 = +6-14 = -8 \\ \\ \\ a_2 = +8-14=-6 [/math]

Le due circonferenze saranno dunque

[math] x^2+y^2-8x-6y=0 \\ \\ \\ x^2+y^2-6x-8y=0 [/math]

(ho svolto condizione per condizione, ma risolvere un sistema a tre equazioni e tre incognite sarebbe stato analogo. Il sistema sarebbe stato:

[math] \{0^2+0^2+0x+0y+c=0 \\ 7^2+7^2+7a+7b+c=0 \\ 5= \sqrt{ \( \frac{a}{2} \)^2 + \( \frac{b}{2} \)^2 + c [/math]

Aggiunto 24 minuti più tardi:

Troviamo ora i punti di intersezione delle circonferenze con l'asse x..

L'asse x ha equazione y=0 pertanto

[math] \{x^2+y^2-6x-8y=0 \\ y=0 [/math]

sostituiamo

[math] x^2-6x=0 \to x(x-6)=0 \to x=0 \cup x=6 [/math]

I punti saranno O(0,0) (che l'esercizio esclude) e A(6,0)

Analogamente per l'altra circonferenza troverai B(8,0)

Ti mostro due metodi per trovare le rette tangenti alla circonferenza.
E te ne accenno un terzo, valido per parabola e molto scomodo per la circonferenza...

Metodo "scomodo"

Consideriamo A e la circonferenza a cui A appartiene:

[math] x^2+y^2-6x-8y=0 [/math]

Dal punto A passano infinite rette.

Il fascio di rette per A sara'

[math] y-y_A=m(x-x_A) \to y=m(x-6) \to y=mx-6m [/math]

Che mettiamo a sistema con la circonferenza trovando i generici punti di intersezione tra le rette del fascio e la circonferenza

[math] \{y=m(x-6) \\ x^2+y^2-6x-8y=0 [/math]

Sostituiamo la prima nella seconda

[math] x^2+(mx-6m)^2-6x-8(mx-6m)=0 \to \\ \to x^2+m^2x^2-12m^2x+36m^2-6x-8mx+48m=0 [/math]

Ovvero

[math] (1+m^2)x^2+(-12m^2-8m-6)x+36m^2+48m=0 [/math]

A questo punto dovresti calcolare il delta (in funzione di m, che come vedi' non e' un delta semplice) e annullarlo, in modo da trovare il valore di m che, azzerando il delta, fa in modo che i punti di intersezione della retta siano due punti coincidenti.

Ma in questo caso i calcoli sono molto lunghi.

Vediamo altri due metodi che invece, con la circonferenza, sono senza dubbio piu' semplici.

Primo metodo.

Calcoliamo il centro della circonferenza:

[math] x^2+y^2-6x-8y=0 [/math]

[math] x_C=- \frac{a}{2} = 3 \\ \\ \\ y_C=- \frac{b}{2} = +4 [/math]

Troviamo l'equazione del raggio passante per il centro (ovviamente, e' un raggio!) e per il punto A(6,0)

[math] \frac{y-y_A}{y_C-y_A} = \frac{x-x_A}{x_C-x_A} [/math]

ovvero

[math] \frac{y-0}{4-0} = \frac{x-6}{3-6} \to \frac{y}{4} = \frac{x-6}{-3} [/math]

E dunque

[math] -3y=4x-24 \to y=- \frac43 x +8 [/math]

La tangente e' perpendicolare al raggio (e dunque pendenza = +3/4) e quindi e' della forma

[math] y= \frac34 x+ q [/math]

E passa per A quindi sostituiamo le coordinate di A e troviamo q

[math] 0= \frac34 \cdot 6 + q \to q= - \frac92 [/math]

la retta sara'
[math] y= \frac43 x - \frac92 [/math]

L'altra tangente la troviamo con il metodo della distanza punto/retta, ponendo che la distanza tra il centro e la retta del fascio sia pari al raggio.

Il fascio di rette passanti per B(8,0) e'

[math] y-0=m(x-8 ) \to y=mx-8m [/math]

per la distanza punto/retta ci serve in forma esplicita, ovvero

[math] mx-y-8m=0 [/math]

Il centro della circonferenza
[math] x^2+y^2-8x-6y=0 [/math]

ha coordinate

[math] C(4,3) [/math]

La distanza fascio/centro dovra' essere 5, quindi

[math] \frac{|m4-3-8m|}{\sqrt{m^2+1}} = 5 [/math]

Ovvero

[math] |-4m-3|=5 \sqrt{m^2+1} [/math]

Eleviamo al quadrato..

[math] 16m^2+9+24m=25(m^2+1) [/math]

E dunque

[math] 16m^2+9+24m=25m^2+25 \to 9m^2-24m+16=0 \to \\ \\ \\ \to (3m-4)^2=0 \to m= \frac43 [/math]

il valroe di m, sostituito al fascio dara'

[math] y= \frac43(x-8 ) \to y= \frac43x- \frac{32}{3} [/math]

Se hai dubbi chiedi, ne ho approfittato per mostrarti piu' metodi, ho inserito all'interno di una soluzione, una breve lezione generale sulla circonferenza :)
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