insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio..
Si studi la seguente disequazione:
[math]\left ( \left | \frac{e^{2x}-5e^{x}+6}{e^{x}+2} \right |-1 \right )\cdot \sqrt{x^{2}-5x+6}\geq 0[/math]

é un prodotto di due fattori quindi il segno dipende da quello dei fattori ed è positivo,come ci richiede il testo, se essi sono concordi o almeno uno è nullo.
quindi dobbiamo risolvere due disequazioni:
la prima
[math]\left ( \left | \frac{e^{2x}-5e^{x}+6}{e^{x}+2} \right |-1 \right ) \geq 0[/math]

che diventa

[math]\left ( \left | \frac{e^{2x}-5e^{x}+6}{e^{x}+2} \right | \right ) \geq 1[/math]

mentre la seconda è

[math]\sqrt{x^{2}-5x+6}\geq 0[/math]


è giusto???
come faccio a risolvere la prima essendoci il valore assoluto e l'esponenti con base e...
spero che mi possiate aiutare..
fatemi sapere..
grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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è giusto. Se avere
[math]e^x[/math]
ti mette in crisi, fai un cambio di variabile:
[math]e^x=t[/math]
e studia quindi
[math]|\frac{t^2-5t+6}{t+2}| \geq 1[/math]
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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allora abbiamo che:
[math]\frac{t^{2}-5t+6}{t+2}\leq 1\, \, \cup \, \, \frac{t^{2}-5t+6}{t+2}\geq 1[/math]


per la prima abbiamo che
[math]t< -2[/math]

mentre per la seconda:
[math]-2< t\leq 3-\sqrt{5}\, \, \vee \, \, t\geq 3+\sqrt{5}[/math]
e quindi le soluzioni sono queste..
è giusto???
ora come a ricondurmi alle
[math]e^{x}[/math]
se mi potete aiutare...
fatemi sapere...
grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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Benchè tu abbia dimenticato un meno quando hai svolto separatamente i due casi, i risultati sono giusti quindi presumo sia una svista.
Adesso sai che
[math]t=e^x[/math]
quindi quindi sostituisci nelle tue soluzioni tale valore e ricavati il valore delle x. Per esempio:
[math]e^x \geq 3+\sqrt5[/math]
equivale a
[math]x\geq ln(3+\sqrt5)[/math]
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Allora abbiamo che
per la prima disequazione le soluzioni risultano essere:
[math]x< ln\left ( -2 \right )\, \, \cup \, \, ln\left ( -2 \right )< x\leq ln\left ( 3-\sqrt{5} \right )\vee x\geq ln(3+\sqrt5)[/math]

mentre per la seconda disequazione

[math]\sqrt{x^{2}-5x+6}\geq 0\rightarrow x^{2}-5x+6\geq 0[/math]

le soluzioni sono:
[math]x\leq 2\, \, \vee \, x\geq 3[/math]

Ora vediamo quando i due fattori sono concordi tramite il seguente grafico:
[img]http://it.tinypic.com/r/2mxhg2a/8[/img]

le soluzioni della disequazione data sono:
[math]x< ln\left ( -2 \right )\vee ln\left ( -2 \right )< x\leq ln\left ( 3-\sqrt{5} \right )\vee \geq ln(3+\sqrt5)\leq x\leq 2\vee [/math]
[math]x\geq 3[/math]
è giusto???
fatemi sapere..
grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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non è propriamente corretto. Fatti questa domanda: quant'è ln(-2)?
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Non esiste..
Quindi quali sarebbero le soluzioni..
Se me le puoi scrivere
per favore...
Grazie..
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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le soluzioni corrette della prima disequazione sono:
[math]x \leq ln(3- \sqrt5)[/math]
e
[math]x \geq ln(3+ \sqrt5)[/math]
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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quindi le soluzione sono:
[math]x\leq ln\left ( 3-\sqrt{5} \right )\vee \geq ln(3+\sqrt5)\leq x\leq 2\vee[/math]
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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manca
[math]x \geq 3[/math]
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