insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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salve avrei delle difficoltà nel risolvere questo esercizio sulla disequazione...

Si risolva la disequazione:
[math]\left | log_{2}\left ( 6^{2x}-\left | 4\cdot 6^{x}-1 \right | \right ) \right |\cdot arcsin\left ( \frac{log\, x}{log\, x+1} \right )\geq 0[/math]

ho cominciato studiando separatamente il segno dei due fattori ovvero:
[math]\left | log_{2}\left ( 6^{2x}-\left | 4\cdot 6^{x}-1 \right | \right ) \right |\geq 0[/math]

e

[math]arcsin\left ( \frac{log\, x}{log\, x+1} \right )\geq 0[/math]
.
Poi notiamo che per il primo fattore ricordando il significato di valore assoluto, la disequazione:
[math]\left | log_{2}\left ( 6^{2x}-\left | 4\cdot 6^{x}-1 \right | \right ) \right |\geq 0[/math]

è sempre verificata.
quindi rimane solo da studiare:
[math]arcsin\left ( \frac{log\, x}{log\, x+1} \right )\geq 0[/math]

è giusto???
ora come la risolvo questa disequazione con l'arcoseno...
se mi potete aiutare..
fatemi sapere..
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Per prima cosa una nota sulla disequazione in valore assoluto: è vero che è sempre verificata, ma devi anche essere certo che sia ben definita, pertanto devi imporre che

[math]6^{2x}-|4\cdot 6^x-1|>0[/math]

Per quanto riguarda l'altra, basta osservare che, poiché
[math]\arcsin:[-1,1]\ \Rightarrow\ [-\pi/2,\pi/2][/math]
e dal momento che
[math]\arcsin t\ge 0\ \Leftrightarrow\ 0\le t\le 1[/math]

la disequazione equivale alla seguente

[math]0\le\frac{\log x}{1+\log x}\le 1[/math]

ovviamente sotto l'ulteriore condizione che
[math]x>0[/math]
.
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Allora per la condizione di esistenza del logaritmo abbiamo che:

[math]6^{2x}-|4\cdot 6^x-1|>0[/math]

[math]\left | 4\cdot 6^{x} \right |<6[/math]

da cui

[math]\left\{\begin{matrix}
4\cdot 6^{x}<6\\
4\cdot 6^{x}>-6
\end{matrix}\right.[/math]

le cui soluzioni sono:

[math]\frac{log\left ( \sqrt{5}-2 \right )}{log 6} < x < \frac{log\left ( 2-\sqrt{3} \right )}{log 6}[/math]

[math]x>\frac{log\left ( 2+\sqrt{3} \right )}{log 6}[/math]



per quanto riguarda l'arcoseno invece abbiamo che:
[math]0\le\frac{\log x}{1+\log x}\le 1[/math]

da cui

[math]\frac{logx}{logx+1}\geq 0\rightarrow x<\frac{1}{10}\, \vee\, x\geq 1 [/math]

e

[math]\frac{logx}{logx+1}\leq 1 0\rightarrow x<\frac{1}{10}[/math]


è giusto???
ora come continuo..
per favore se mi potete aiutare a finire questa disequazione
che sto impazzendo...
grazie...
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Hai cannato di brutto la risoluzione della condizione di esistenza per il logaritmo! Sinceramente non capisco proprio come tu faccia i calcoli. Se poni
[math]t=6^x[/math]
la disequazione equivale a
[math]t^2-|4t-1|>0[/math]

la quale si scompone nei due casi

[math]4t-1\ge 0\ \Rightarrow\ t^2-4t+1>0\\ 4t-1<0\ \Rightarrow\ t^2+4t-1>0[/math]

Le soluzioni di tale condizione vanno prese insieme (unione).


Per l'altra, puoi osservare che essa equivale al sistema

[math]\frac{\log x}{\log x+1}\ge 0\qquad \frac{\log x}{\log x+1}\le 1\qquad x>0[/math]

o anche

[math]\frac{\log x}{\log x+1}\ge 0\qquad \frac{1}{\log x+1}\ge 0\qquad x>0[/math]

Secondo me, comunque,
[math]\log[/math]
indica il logaritmo naturale (in base
[math]e[/math]
).
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ok...
scusa ora come risolvo il logaritimo..
se pi potete aiutare ricapitolando tutto
e facendo i passaggi...
sto impazzendo..
se mi puoi aiutare..
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Allora, partiamo dalla prima:

1) se
[math]4t-1\ge 0\ \Rightarrow\ t\ge 1/4[/math]
abbiamo la disequazione
[math]t^2-4t+1>0[/math]
le cui soluzioni sono
[math]t < 2-\sqrt{3},\ t > 2+\sqrt{3}[/math]
e la condizione implica che la soluzione corretta è

[math]1/4\le t < 2-\sqrt{3},\ t > 2+\sqrt{3}[/math]


2) se
[math]4t-1<0\ \Rightarrow\ t < 1/4[/math]
abbiamo la disequazione
[math]t^2+4t-1>0[/math]
le cui soluzioni sono
[math]t < -2-\sqrt{5},\ t > -2+\sqrt{5}[/math]
e la condizione implica che la soluzione corretta è

[math]t < -2-\sqrt{5},\ -2+\sqrt{5} < t < 1/4[/math]


Mettendo insieme queste due, per le condizioni di esistenza del logaritmo, si ha

[math]t < -2-\sqrt{5},\ -2+\sqrt{5} < t < 2-\sqrt{3},\ t> 2+\sqrt{3}[/math]


Ricordando che
[math]t=6^x[/math]
seguono le condizioni

[math]6^x < -2-\sqrt{5}[/math]
assurda, in quanto l'esponenziale è sempre positivo

[math]-2+\sqrt{5} < 6^x < 2-\sqrt{3}\ \Rightarrow\ \log_6(-2+\sqrt{5})< x < \log_6(2-\sqrt{3})[/math]


[math]6^x > 2+\sqrt{3}\ \Rightarrow\ x > \log_6(2+\sqrt{3})[/math]


e quindi il campo di esistenza

[math]\log_6(-2+\sqrt{5})< x < \log_6(2-\sqrt{3}),\ x > \log_6(2+\sqrt{3})[/math]




Passiamo al sistema: per la prima disequazione abbiamo, analizzando numeratore e denominatore

[math]N\ge 0\ \Rightarrow\ \log x\ge 0\ \Rightarrow\ x\ge 1\\ D>0\ \Rightarrow\ \log x+1>0\ \Rightarrow\ \log x > -1\ \Rightarrow\ x > e^{-1}[/math]


e dal grafico dei segni si trova la soluzione
[math]x < e^{-1},\ x\ge 1[/math]


Per la seconda disequazione basta osservare che deve essere
[math]\log x+1 >0[/math]
e quindi la soluzione
[math]x> e^{-1}[/math]


Infine, mettendo a sistema queste due soluzioni con la condizione
[math]x>0[/math]
si verifica che la soluzione della disequazione
[math]0\le\frac{\log x}{\log x+1}\le 1[/math]
è
[math]x\ge 1[/math]


A questo punto, per trovare la soluzione della disequazione di partenza, basta verificare l'intersezione tra la soluzione appena trovata e il campo di esistenza precedente: mettendo tutto in un grafico e osservando dove c'è sovrapposizione di soluzioni, possiamo concludere che la disequazione originale ha soluzioni
[math]x\ge 1[/math]
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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grazie mille..
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