calimero92
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Come faccio a dimostrare che una funz è derivabile o continua in un intervallo quando devo applicare i teoremi di Rolle, Lagrange a un esercizio?
grazie 1000
BIT5
BIT5 - Mito - 28575 Punti
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# Dreke90 : Allora una funzione e continua nel loro domini della funzione se esiste nel campo di esistenza per intenderci ,cioe ad esempiuo non lo e quando hai nel campo di esistenza un qualcosa che ti dice che in quei punti non e verificabile ad esempio la funzione 1/x o ln x il c.e sarà x>0 e quindi non sono funzioni continue.

Ci tengo a precisare che le due funzioni da Dreke portate nell'esempio, sono nella fattispecie:

1/x non continua in R, ma continua in (-infinito,0) e continua in (0, +infinito)

ln x continua nell'intervallo (0, infinito)

# Dreke90 :
per rolle
Sia f(x):[a,b]->R
quindi deve essere Continua sull'intervallo chiuso [a,b] e Derivabile sull'intervallo aperto (a,b);
f(a) = f(b).
Allora esiste c nell'intervallo aperto (a,b) tale che f'(c)=0.

Per Lagrange. Sia f(x):[a,b]->R Continua sull'intervallo chiuso [a,b] e Derivabile sull'intervallo aperto (a,b) Allora esiste c nell'intervallo apreto (a,b) tale che
f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).
questo sn la definizioneXD dei due teoremi,rolle si puo applicare solo in un caso particolare dove lagrangen on lo si puo aplicare:) e per applicarli devono rispettare le ipotesi annunciate nelle spiegazioni:)


Questi sono gli enunciati, per rispondere alla domanda pero' (se non ho capito male) tu non chiedi i teoremi ma chiedi la "premessa" ovvero come arrivare a capire se puoi applicare i teoremi.

Devi dunque:

calcolare il dominio e verificare se, nell'intervallo da te richiesto, la funzione e' continua.

Supponi di dover applicare uno dei due teoremi alla funzione

[math] f(x)= \sqrt{\frac{1}{x^2-1}} [/math]

Calcoli il dominio:
[math] \{ \frac{1}{x^2-1} \ge 0 \\ x^2-1 \ne 0 [/math]

Ovvero
[math] -1<x \cup x>1 [/math]

Quindi
[math] D(- \infty, -1 ) \cup (1, + \infty) [/math]

Se l'intervallo di applicazione fosse
[math] I=[2,3] [/math]

Allora siccome il dominio nell'intervallo non presenta punti di discontinuita' (infatti
[math] I \in D [/math]
dal momento che l'intervallo e' completamente compreso nel Dominio) puoi procedere ad applicare i teoremi;
Se fosse
[math] I=[1,2] [/math]
non potresti, in quanto 1 non appartiene al dominio;
Se fosse
[math] I=[0,2] [/math]
neppure, perche' l'intervallo [0,1] non appartiene al dominio.
Per la derivabilita' calcoli la derivata e verifichi l'intervallo di esistenza della derivata:

Prendiamo ad esempio

[math] f(x)= \sqrt{x} [/math]

il cui dominio e'
[math] D= \[0,+ \infty) [/math]

Nell'intervallo
[math] I=[0,1] [/math]

L'intervallo e' compreso nel dominio pertanto e' possibile applicare i teoremi per quanto riguarda il dominio.

Deriviamo

[math] f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}} [/math]

Che esiste (ricalcoli, insomma, il CE) per
[math] x>0 [/math]

(x=0 e' da escludersi perche' annullerebbe il denominatore)

pertanto la funzione e' derivabile nell'intervallo aperto (0,1)

(come vedi la funzione e' continua da 0 compreso, ma non derivabile in zero)

A questo punto, dunque, puoi applicare i teoremi.

In sintesi sono i campi di esistenza della funzione e della derivata che ti permettono di capire l'applicabilita' dei teoremi

Dreke90
Dreke90 - Genius - 6795 Punti
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Allora una funzione e continua nel loro domini della funzione se esiste nel campo di esistenza per intenderci ,cioe ad esempiuo non lo e quando hai nel campo di esistenza un qualcosa che ti dice che in quei punti non e verificabile ad esempio la funzione 1/x o ln x il c.e sarà x>0 e quindi non sono funzioni continue.

per rolle
Sia f(x):[a,b]->R
quindi deve essere Continua sull'intervallo chiuso [a,b] e Derivabile sull'intervallo aperto (a,b);
f(a) = f(b).
Allora esiste c nell'intervallo apreto (a,b) tale che f'(c)=0.

Per Lagrange. Sia f(x):[a,b]->R Continua sull'intervallo chiuso [a,b] e Derivabile sull'intervallo aperto (a,b) Allora esiste c nell'intervallo apreto (a,b) tale che
f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).
questo sn la definizioneXD dei due teoremi,rolle si puo applicare solo in un caso particolare dove lagrangen on lo si puo aplicare:) e per applicarli devono rispettare le ipotesi annunciate nelle spiegazioni:)

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