patty18
patty18 - Ominide - 25 Punti
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magari non proprio teorico... mi basterebbe qualche es.. oppure fate voi!!!
Grazie

Aggiunto 1 ore 52 minuti più tardi:

mmm si va bene anche quello... ma io all'esame ho quasi tutto pratico mi andrebbe bene una spiegazione anche su svoglimento d esercizi... cmq se mi mandi lo stesso mi fai un piacere!!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
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Per prima cosa, bisogna dare delle definizioni. Premettendo che spero tu conosca la definizione di limite, diamo la definizione di punto di continuità.

Sia

[math]f: D(f)\longrightarrow\mathbb{R}[/math]
una funzione. Un punto
[math]x_0\in D(f)[/math]
si dice punto di continuità se valgono le seguenti condizioni:
1)
[math]f(x_0)[/math]
esiste ben definito;
2)
[math]\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell[/math]
esiste finito (
[math]\ell\neq\infty[/math]
);
3)
[math]f(x_0)=\ell[/math]
.
In parole più semplici, una funzione è continua in un punto
[math]x_0[/math]
se e solo se
[math]\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)[/math]

o in termini più "matematici" se
[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_\epsilon>0\ :\ \forall\ x:\ |x-x_0|<\delta_\epsilon\ \Rightarrow\ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon[/math]

Osserva che, se una funzione non è continua, possono accadere 3 cose diverse: la prima è che la funzione non si può calcolare la funzione nel punto; la seconda è che il limite o non esiste oppure è infinito; la terza è che nonostante tu possa calcolare la funzione e il suo limite, essi non coincidono.

Diamo allora le seguenti definizioni. Considera un punto

[math]x_0[/math]
di accumulazione per
[math]f[/math]
(cioè dove puoi calcolare il limite). Allora
1)
[math]x_0[/math]
si dice punto di discontinuità di I specie se
[math]\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\ell_+\neq\ell_-=\lim_{x\to x_0^-}f(x)[/math]

(cioè i limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi e quindi il limite non esiste). Il valore
[math]s=\ell_+ -\ell_-[/math]
si dice salto della
[math]f[/math]
in
[math]x_0[/math]
.
2)
[math]x_0[/math]
si dice punto di discontinuità di II specie se
[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty[/math]

cioè se il limite esiste ma è infinito.

3)

[math]x_0[/math]
si dice punto di discontinuità di III specie (eliminabile) se non è possibile calcolare
[math]f(x_0)[/math]
ciononostante esiste finito
[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell[/math]

In tal caso si pone
[math]\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
f(x) & & x\neq x_0\\ & & \\ \ell & & x=x_0
\end{array}\right.[/math]

che si dice estensione per continuità di
[math]f[/math]
.
Qualche esempio:

- la funzione

[math]f(x)=\arctan\left(\frac{1}{x}\right)[/math]
ha una discontinuità di I specie in
[math]x_0=0[/math]
: infatti
[math]\lim_{x\to 0^-} f(x)=\arctan(-\infty)=-\frac{\pi}{2}[/math]
[math]\lim_{x\to 0^+} f(x)=\arctan(+\infty)=\frac{\pi}{2}[/math]

In tal caso
[math]s=\pi/2-(-\pi/2)=\pi[/math]

- la funzione

[math]f(x)=\frac{1}{x}[/math]
ha una discontinuità di II specie in
[math]x_0=0[/math]
: infatti
[math]\lim_{x\to 0^{\pm}} f(x)=\pm\infty[/math]

- la funzione

[math]f(x)=\frac{\sin x}{x}[/math]
ha una discontinuità di III specie in
[math]x_0=0[/math]
: infatti tale punto non appartiene al dominio (quindi non posso calcolare il valore della funzione), tuttavia
[math]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1[/math]
(limite notevole).
Posso porre allora
[math]\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
\displaystyle\frac{\sin x}{x} & & x\neq 0\\ & & \\ 1 & & x=0
\end{array}\right.[/math]
mitraglietta
mitraglietta - Mito - 62628 Punti
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continuità e discontinuità di una funzione? ho qualcosa di teorico, se hai tempo di aspettare 30 minuti il tempo necessario per uppare il file, te lo metto on-line. Spero riuscirai a capire la mia calligrafia.

Aggiunto 15 minuti più tardi:

Per la parte pratica di esercizi, mi sà che devi aspettare Bit5, quello che posso darti è Questo

discontinuità continuita funzione.pdf (1540,8 kB, 131 Downloads)
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