brayandemone
brayandemone - Ominide - 20 Punti
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determina l'equazione della circonferenza passante per a (6 -4),per l'origine 0 e avente il centro sulla retta x+2y-11=0. Scrivi le equazioni delle rette t1 e t2 passante per il punto H (0;9) e tangenti alla circonferenza. Detta t1 la tangente con coefficiente angolare positivo determinare i punti t1 di che hanno distanza uguale a 4 radical 2 dalla retta x+y-1
mc2
mc2 - Genius - 14193 Punti
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Scriviamo l'equazione della circonferenza generica:

[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]

Deve passare per O:
[math]c=0[/math]

Deve passare per A:
[math]36+16+6a-4b=0[/math]
,
[math]3a-2b+26=0[/math]


Il centro della circonferenza e`
[math]C(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2})[/math]
e deve stare sulla retta x+2y-11=0, quindi le sue coordinate devono soddisfare l'equazione della retta:
[math]-\frac{a}{2}-b-11=0[/math]
,
[math]a+2b+22=0[/math]


Abbiamo cosi` ottenuto due relazioni tra i coefficienti incogniti
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
(le due equazioni in rosso): le mettiamo a sistema e risolviamo, ottenendo:
[math]a=-12~~~[/math]
e
[math]~~~b=-5[/math]


La circonferenza richiesta quindi e`:

[math]x^2+y^2-12x-5y=0[/math]

Questa circonferenza ha il centro in
[math]C(6,\frac{5}{2})[/math]
ed il suo raggio e`
[math]R=CO=\sqrt{36+\frac{25}{4}}=\frac{13}{2}[/math]

Scriviamo una retta generica passante per H(0,9):

[math]y=mx+9[/math]

e ricaviamo m in modo che sia tangente alla corconferenza: il modo piu` semplice e veloce e` imporre che la sua distanza dal centro C sia uguale al raggio R:

[math]\frac{13}{2}=\frac{|6m-\frac{5}{2}+9|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{|6m+\frac{13}{2}|}{\sqrt{m^2+1}}
[/math]

[math]13\sqrt{m^2+1}=|12m+13|[/math]

[math]169m^2+169=144m^2+312m+169[/math]

[math]25m^2-312m=0[/math]

Sono possibili due soluzioni:
[math]m=0[/math]
oppure
[math]m=\frac{312}{25}[/math]
, quindi le tangenti sono
t1:
[math]~~y=\frac{312}{25}x+9[/math]
(coeff. angolare positivo)
t2:
[math]~~y=9[/math]


Aggiunto 21 minuti più tardi:

Un punto P generico di t1 ha coordinate
[math]P=(p,\frac{312}{25}p+9)[/math]
.
Calcoliamo la distanza di P dalla retta x+y-1=0:

[math]d=\frac{|p+\frac{312}{5}p+9-1|}{\sqrt{2}}=
\frac{|\frac{337}{25}p+8|}{\sqrt{2}}
[/math]


Tale distanza deve essere pari a
[math]4\sqrt{2}[/math]
:
[math]4\sqrt{2}=
\frac{|\frac{337}{25}p+8|}{\sqrt{2}}
[/math]

[math]8=|\frac{337}{25}p+8|[/math]

che ha due soluzioni:
[math]p=0[/math]
e
[math]p=-\frac{400}{337}[/math]
cioe` i punti richiesti sono
[math]P_1=(0,9)=H[/math]
e
[math]P_2=(-\frac{400}{337},-\frac{1959}{337})[/math]
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