marshmallow1900
marshmallow1900 - Ominide - 3 Punti
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Trova la retta tangente alla parabola di equazione y=x^2+4x+4, parallela alla retta di equazione y-2x=0. Indicati con T il punto di tangenza, con V il vertice della parabola e con A il punto d'incontro della retta tangente con l'asse delle x, calcola l''area del triangolo AVT.

Grazie tante a chi lo risolve!
GiovanniPalama
GiovanniPalama - Sapiens - 521 Punti
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Ciao, di seguito la soluzione al tuo esercizio.

1) [s]TROVARE LA RETTA TANGENTE ALLA PARABOLA[/s]

L'equazione di una generica retta (espressa in termini di coefficiente angolare e pendenza/termine noto) è la seguente:
[math]y=mx+q[/math]

Siccome la retta che dobbiamo trovare è parallela alla retta di equazione:
[math]y=2x[/math]
(in questo caso m=0; q=0)
e siccome sono entrambe parallele, allora avranno lo stesso coefficiente angolare:
m1=m2=2.

Ne consegue che la nostra retta tangente sarà nella forma:
[math]y=2x+q[/math]

Adesso, per trovare il nostro q, dobbiamo mettere a sistema la parabola con l'equazione appena trovata:
[math]\begin{cases}y=x^2+4x+4 \\ y=2x+q \end{cases}[/math]

Risolviamo il sistema per confronto ed otteniamo:

[math]x^2+4x+4=2x+q[/math]
=>
[math]x^2+2x+4-q=0[/math]


Ora dobbiamo calcolarci il nostro delta D ed imporlo uguale a 0:

[math]D=b^2-4ac = 4-4(4-q) = -12+4q[/math]
=>
[math]D=0 <=> -12+4q=0[/math]


Segue che
[math]q=3[/math]
e quindi l'equazione della nostra retta tangente sarà data da:
[math]y=2x+3[/math]


Aggiunto 23 minuti più tardi:

2)TROVARE IL PUNTO DI TANGENZA T, IL VERTICE DELLA PARABOLA V ED IL PUNTO IN CUI LA TANGENTE INCONTRA L'ASSE DELLE X

Per trovare il punto di tangenza T basta la retta è tangente alla parabola nel punto di coordinate
[math]T(3;9)[/math]


Il vertice V della parabola invece è dato dal punto
[math]V(-2;0)[/math]


Il punto A in cui la tangente incontra l'asse delle x si trova scrivendo imponendo che
[math]y=0[/math]
, cioè scrivendo che:

[math]2x+3=0[/math]
=>
[math]x=-3/2[/math]


Segue che il punto A avrà coordinate:
[math]A(-3/2; 0)[/math]


3)CALCOLO DELL'AREA


Ora per calcolare l'area del triangolo devi:

-)calcolare la lunghezza dei due cateti
[math]\overline{VA}[/math]
ed
[math]\overline{AT}[/math]
calcolandola con la formula della distanza tra due punti:
[math]d(V;A)=\sqrt{(X_A-X_V)^2+(Y_A-Y_V)^2}[/math]


La stessa cosa devi fare per calcolare la lunghezza del cateto
[math]\overline{AT}[/math]
.

Una volta fatto questo calcoli la lunghezza dell'ipotenusa
[math]\overline{VT}[/math]
con la formula del teorema di pitagora ed infine ti calcoli l'altezza.

Fatto questo, applichi la formula del calcolo dell'area di un triangolo ed il gioco è fatto.


Spero di esserti stato d'aiuto :)
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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Nel punto 2 di giovanni c'è un errore. Il punto di tangenza lo trovi risolvendo il sistema impostato nel punto 1, andando a sostituire a q il valore 3 che ha correttamente trovato.
Ne segue che il punto T è (-1,1).

Il punto 3 è invece completamente sbagliato.
Il triangolo trovato NON è rettangolo, quindi non si parla di cateti o di ipotenusa e non è possibilie applicare il teorema di Pitagora.
Con la formula della distanza tra due punti ti calcoli la lunghezza della base AV, mentre con la formula della distanza tra un punto e una retta ti calcoli la distanza tra il punto T e la retta y=0 in modo da trovare l'altezza del triangolo. A questo punto hai base ed altezza di un triangolo, quindi hai tutto ciò che ti serve per calcolare l'area di un triangolo.
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