traccia:
scrivere l'equazione dell'iperbole avente un fuoco nel punto (2radical5;0) e per asindoti le rette y=+2x e y=-2x; trovare l'equazione della tangente t all'iperbole nel punto del primo quadrante di ascissa uguale a radical5 e calcolare la misura dell'area del triangolo limitato dalla retta t e dagli asindoti
ho trovato l'equazione dell'iperbole ed è 4x^2-y^2=16
traccia numero 2:
un iperbole equilatera riferita ai propri assi passa per il punto A(-7;3)
si determina la sua equazione (ho trovato ke è x^2-y^2=40)
si considerino poi i punti B e C di ordinata positiva, aventi per ascissa 13\2 e 11. Si trovi l'ortocentro del triangolo ABC e si verifichi che esso giace sull'iperbole.
grazie in anticipo.
- Matematica - Superiori
-
problema iperbole (1250)
Indichiamo con
[math]F(c,0)=(2\sqrt{5},0)[/math]
le coordinate del fuoco. Essendo le quazioni degli asintoti in generale[math]y=\pm\frac{b}{a}[/math]
ed avendosi pure
[math]b^2=c^2-a^2[/math]
si ricava subito[math]|b/a|=2\Rightarrow |b|=2|a|\Rightarrow 4a^2=20-a^2\Rightarrow a^2=4[/math]
e quindi
[math]a^2=4, b^2=16[/math]
e l'equazione dell'iperbole è[math]\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1[/math]
Se ora
[math]x=\sqrt{5}[/math]
allora
[math]4\cdot 5-y^2=16[/math]
cioè
[math]y^2=4[/math]
. La soluzione che ci interessa è
[math]y=2[/math]
(siamo nel primo quadrante. Il punto è quindi
[math]P(\sqrt{5},2)[/math]
Scriviamo la generica retta per
[math]P[/math]
(il fascio di rette in
[math]P[/math]
)[math]y-2=m(x-\sqrt{5})[/math]
Andando a sostituire nell'equazione dell'iperbole otteniamo
[math]4x^2-(mx-\sqrt{5}m+2)^2=16[/math]
da cui semplificando
[math](4-m^2)x^2+2m(\sqrt{5}m-2)x-(5m^2-4\sqrt{5}m+20)=0[/math]
A questo punto imponiamo che il discriminante di tale equazioni sia uguale a zero, cioè
[math]4m^2(\sqrt{5}m-2)^2+4(4-m^2)(5m^2-4\sqrt{5}m+20)=0[/math]
Svilupando e semplificando la precedente otteniamo
[math]m^2-4\sqrt{5}m+20=0\Rightarrow (m-2\sqrt{5})^2=0[/math]
la cui soluzione è
[math]m=2\sqrt{5}[/math]
. L'equazione della retta è allora[math]y=2\sqrt{5} x-8[/math]
Per calcolare l'area del triangolo, calcoliamo le intersezioni tra le rette:
[math]\left\{\begin{array}{l}
y=\pm 2x\\
y=2\sqrt{5} x-8
\end{array}\right.
[/math]
y=\pm 2x\\
y=2\sqrt{5} x-8
\end{array}\right.
[/math]
che danno le soluzioni
[math]A(\sqrt{5}+1,2(\sqrt{5}+1)), B(\sqrt{5}-1,-2(\sqrt{5}-1))[/math]
. La base del triangolo è allora[math]b=|AB|=\sqrt{(\sqrt{5}+1-(\sqrt{5}-1))^2+(2\sqrt{5}+2-(-2\sqrt{5}+2))^2}=
\sqrt{4+80}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}[/math]
\sqrt{4+80}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}[/math]
mentre per l'altezza, che si ottiene come distanza dell'origine degli assi dalla retta tangente
[math]h=\frac{|2\sqrt{5}\cdot 0-0-8|}{\sqrt{20+1}}=\frac{8}{\sqrt{21}}=\frac{8\sqrt{21}}{21}[/math]
e quindi l'area risulta
[math]A=\frac{1}{2}\cdot bh=\sqrt{21}\cdot\frac{8\sqrt{21}}{21}=8[/math]
Ecco il primo. Spero di non aver sbagliato qualche conto!
Il secondooooooooooooo!
L'equazione dell'iperbole è
[math]x^2-y^2=a^2[/math]
, da cui sostituendo i valori del punto
[math]A(-7,3)[/math]
si ottiene
[math]a^2=49-9=40[/math]
e quindi l'equazione[math]x^2-y^2=40[/math]
Per calcolare le coordinate dei due punti, basta sostituire i valori noti in tale equazione. Abbiamo allora
[math]169/4-y^2=40\Rightarrow y=3/2\Rightarrow B(13/2,3/2)[/math]
[math]121-y^2=40\Rightarrow y=9\Rightarrow C(11,9)[/math]
(scelgo i valori positivi perché sono nel primo quadrante.)
Ora, l'ortocentro di un triangolo è l'intersezione delle sue altezze. Per determinare le rette delle altezze procediamo in questo modo: calcoliamo il coefficiente angolare della retta alla quale l'altezza è perpendicolare e poi scriviamo l'equazione della retta passante per il punto opposto e di coefficiente angolare antireciproco. In parole povere (osserva che bastano 2 rette)
coeff di AB:
[math]m_{AB}=\frac{3-3/2}{-7-13/2}=-\frac{1}{9}[/math]
retta passante per C:
[math]y-9=9(x-11)\Rightarrow y=9x-90[/math]
coeff di AC:
[math]m_{AC}=\frac{3-9}{-7-11}=\frac{1}{3}[/math]
retta passante per B:
[math]y-3/2=-3(x-13/2)\Rightarrow y=-3x+21[/math]
A questo punto, l'ortocentro è l'intersezione delle due rette, cioè si ottiene risolvendo il sistema
[math]\left\{\begin{array}[l]
y=9x-90\\
y=-3x+21
\end{array}\right.[/math]
y=9x-90\\
y=-3x+21
\end{array}\right.[/math]
la cui soluzione è
[math]H(37/4,-27/4)[/math]
. Poiché[math](37/4)^2-(-27/4)^2=1369/16-729/16=640/16=40[/math]
il punto
[math]H[/math]
giace sull'iperbole.
P.S.: scusa gli errori di calcolo, ma fare sta roba direttamente mentre la scrivi a volte è complicatello! 
Questa risposta è stata cambiata da The Mascheroni CAD Team (19-01-13 15:43, 5 anni 3 mesi 2 giorni )
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