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problema iperbole (1250)
scrivere l'equazione dell'iperbole avente un fuoco nel punto (2radical5;0) e per asindoti le rette y=+2x e y=-2x; trovare l'equazione della tangente t all'iperbole nel punto del primo quadrante di ascissa uguale a radical5 e calcolare la misura dell'area del triangolo limitato dalla retta t e dagli asindoti
ho trovato l'equazione dell'iperbole ed è 4x^2-y^2=16
traccia numero 2:
un iperbole equilatera riferita ai propri assi passa per il punto A(-7;3)
si determina la sua equazione (ho trovato ke è x^2-y^2=40)
si considerino poi i punti B e C di ordinata positiva, aventi per ascissa 13\2 e 11. Si trovi l'ortocentro del triangolo ABC e si verifichi che esso giace sull'iperbole.
grazie in anticipo.
Indichiamo con
ed avendosi pure
e quindi
Se ora
Scriviamo la generica retta per
Andando a sostituire nell'equazione dell'iperbole otteniamo
da cui semplificando
A questo punto imponiamo che il discriminante di tale equazioni sia uguale a zero, cioè
Svilupando e semplificando la precedente otteniamo
la cui soluzione è
Per calcolare l'area del triangolo, calcoliamo le intersezioni tra le rette:
y=\pm 2x\\
y=2\sqrt{5} x-8
\end{array}\right.
[/math]
che danno le soluzioni
\sqrt{4+80}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}[/math]
mentre per l'altezza, che si ottiene come distanza dell'origine degli assi dalla retta tangente
e quindi l'area risulta
Ecco il primo. Spero di non aver sbagliato qualche conto!

Il secondooooooooooooo!
L'equazione dell'iperbole è
Per calcolare le coordinate dei due punti, basta sostituire i valori noti in tale equazione. Abbiamo allora
(scelgo i valori positivi perché sono nel primo quadrante.)
Ora, l'ortocentro di un triangolo è l'intersezione delle sue altezze. Per determinare le rette delle altezze procediamo in questo modo: calcoliamo il coefficiente angolare della retta alla quale l'altezza è perpendicolare e poi scriviamo l'equazione della retta passante per il punto opposto e di coefficiente angolare antireciproco. In parole povere (osserva che bastano 2 rette)
coeff di AB:
retta passante per C:
coeff di AC:
retta passante per B:
A questo punto, l'ortocentro è l'intersezione delle due rette, cioè si ottiene risolvendo il sistema
y=9x-90\\
y=-3x+21
\end{array}\right.[/math]
la cui soluzione è
il punto
P.S.: scusa gli errori di calcolo, ma fare sta roba direttamente mentre la scrivi a volte è complicatello!
Questa risposta è stata cambiata da The Mascheroni CAD Team (19-01-13 15:43, 8 anni 6 giorni )