problema iperbole (1250): Forum per Studenti

Matematica - Superiori
problema iperbole (1250)

indovina - Genius - 5427 Punti

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traccia:
scrivere l'equazione dell'iperbole avente un fuoco nel punto (2radical5;0) e per asindoti le rette y=+2x e y=-2x; trovare l'equazione della tangente t all'iperbole nel punto del primo quadrante di ascissa uguale a radical5 e calcolare la misura dell'area del triangolo limitato dalla retta t e dagli asindoti

ho trovato l'equazione dell'iperbole ed è 4x^2-y^2=16

traccia numero 2:
un iperbole equilatera riferita ai propri assi passa per il punto A(-7;3)
si determina la sua equazione (ho trovato ke è x^2-y^2=40)
si considerino poi i punti B e C di ordinata positiva, aventi per ascissa 13\2 e 11. Si trovi l'ortocentro del triangolo ABC e si verifichi che esso giace sull'iperbole.

grazie in anticipo.

13 anni 10 mesi 6 giorni fa

ciampax - Tutor - 29413 Punti

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Indichiamo con

[math]F(c,0)=(2\sqrt{5},0)[/math]

le coordinate del fuoco. Essendo le quazioni degli asintoti in generale

[math]y=\pm\frac{b}{a}[/math]

ed avendosi pure

[math]b^2=c^2-a^2[/math]

si ricava subito

[math]|b/a|=2\Rightarrow |b|=2|a|\Rightarrow 4a^2=20-a^2\Rightarrow a^2=4[/math]

e quindi

[math]a^2=4, b^2=16[/math]

e l'equazione dell'iperbole è

[math]\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1[/math]

Se ora

[math]x=\sqrt{5}[/math]

allora

[math]4\cdot 5-y^2=16[/math]

cioè

[math]y^2=4[/math]

. La soluzione che ci interessa è

[math]y=2[/math]

(siamo nel primo quadrante. Il punto è quindi

[math]P(\sqrt{5},2)[/math]

Scriviamo la generica retta per

[math]P[/math]

(il fascio di rette in

[math]P[/math]

)

[math]y-2=m(x-\sqrt{5})[/math]

Andando a sostituire nell'equazione dell'iperbole otteniamo

[math]4x^2-(mx-\sqrt{5}m+2)^2=16[/math]

da cui semplificando

[math](4-m^2)x^2+2m(\sqrt{5}m-2)x-(5m^2-4\sqrt{5}m+20)=0[/math]

A questo punto imponiamo che il discriminante di tale equazioni sia uguale a zero, cioè

[math]4m^2(\sqrt{5}m-2)^2+4(4-m^2)(5m^2-4\sqrt{5}m+20)=0[/math]

Svilupando e semplificando la precedente otteniamo

[math]m^2-4\sqrt{5}m+20=0\Rightarrow (m-2\sqrt{5})^2=0[/math]

la cui soluzione è

[math]m=2\sqrt{5}[/math]

. L'equazione della retta è allora

[math]y=2\sqrt{5} x-8[/math]

Per calcolare l'area del triangolo, calcoliamo le intersezioni tra le rette:

[math]\left\{\begin{array}{l}
y=\pm 2x\\
y=2\sqrt{5} x-8
\end{array}\right.
[/math]

che danno le soluzioni

[math]A(\sqrt{5}+1,2(\sqrt{5}+1)), B(\sqrt{5}-1,-2(\sqrt{5}-1))[/math]

. La base del triangolo è allora

[math]b=|AB|=\sqrt{(\sqrt{5}+1-(\sqrt{5}-1))^2+(2\sqrt{5}+2-(-2\sqrt{5}+2))^2}=
\sqrt{4+80}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}[/math]

mentre per l'altezza, che si ottiene come distanza dell'origine degli assi dalla retta tangente

[math]h=\frac{|2\sqrt{5}\cdot 0-0-8|}{\sqrt{20+1}}=\frac{8}{\sqrt{21}}=\frac{8\sqrt{21}}{21}[/math]

e quindi l'area risulta

[math]A=\frac{1}{2}\cdot bh=\sqrt{21}\cdot\frac{8\sqrt{21}}{21}=8[/math]

Ecco il primo. Spero di non aver sbagliato qualche conto!

Il secondooooooooooooo!

L'equazione dell'iperbole è

[math]x^2-y^2=a^2[/math]

, da cui sostituendo i valori del punto

[math]A(-7,3)[/math]

si ottiene

[math]a^2=49-9=40[/math]

e quindi l'equazione

[math]x^2-y^2=40[/math]

Per calcolare le coordinate dei due punti, basta sostituire i valori noti in tale equazione. Abbiamo allora

[math]169/4-y^2=40\Rightarrow y=3/2\Rightarrow B(13/2,3/2)[/math]

[math]121-y^2=40\Rightarrow y=9\Rightarrow C(11,9)[/math]

(scelgo i valori positivi perché sono nel primo quadrante.)

Ora, l'ortocentro di un triangolo è l'intersezione delle sue altezze. Per determinare le rette delle altezze procediamo in questo modo: calcoliamo il coefficiente angolare della retta alla quale l'altezza è perpendicolare e poi scriviamo l'equazione della retta passante per il punto opposto e di coefficiente angolare antireciproco. In parole povere (osserva che bastano 2 rette)

coeff di AB:

[math]m_{AB}=\frac{3-3/2}{-7-13/2}=-\frac{1}{9}[/math]

retta passante per C:

[math]y-9=9(x-11)\Rightarrow y=9x-90[/math]

coeff di AC:

[math]m_{AC}=\frac{3-9}{-7-11}=\frac{1}{3}[/math]

retta passante per B:

[math]y-3/2=-3(x-13/2)\Rightarrow y=-3x+21[/math]

A questo punto, l'ortocentro è l'intersezione delle due rette, cioè si ottiene risolvendo il sistema

[math]\left\{\begin{array}[l]
y=9x-90\\
y=-3x+21
\end{array}\right.[/math]

la cui soluzione è

[math]H(37/4,-27/4)[/math]