gaiab00
gaiab00 - Erectus - 127 Punti
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Ciao ragazzi, non riesco a risolvere l'ultima parte di questo esercizio:
dato il fascio di rette x+(k+2)y+1=0
determina:
-il centro e le generatrici:c(-1,0), y=0,x+2y+1=0
-la retta r del fascio passante per P(1,2):y=x+1
-la retta s del fascio parallela alla retta 3x-y=0:y=3x+3
-Detto E il punto di intersezione della retta s con l'asse y,determina i vertici del rettangolo EFGH,con F nel primo quadrante,avente la diagonale EG sulla retta s e la diagonale FH sulla retta r.
Basta che mi risolviate l'ultimo punto. Grazie in anticipo
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, dato il fascio di rette:

[math]x + (k + 2)\,y + 1 = 0\\[/math]
scrivendolo in forma canonica:

[math](x + 2\,y + 1) + k\,(y) = 0\\[/math]
le rette generatrici del fascio sono messe in evidenza dalle parentesi
tonde e una volta poste a sistema:

[math]\begin{cases} x + 2\,y + 1 = 0 \\ y = 0 \end{cases}\\[/math]
il centro del fascio è servito su un piatto d'argento:
[math]C(-1,\,0)\\[/math]
.
Per quanto concerne la determinazione della retta
[math]r[/math]
passante per il
punto di coordinate
[math](1,\,2)\\[/math]
, molto semplicemente:
[math]1 + (k + 2)\cdot 2 + 1 = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; k=-3\\[/math]
e quindi segue che:

[math]r : x + (-3+2)\,y + 1 = 0 \; \; \Rightarrow \; \; r : x - y + 1 = 0 \; .\\[/math]

D'altro canto, la retta
[math]s[/math]
parallela alla retta
[math]3\,x - y = 0[/math]
la si ottiene
imponendo l'uguaglianza dei rispettivi coefficienti angolari:

[math]-\frac{1}{k + 2} = -\frac{3}{-1} \; \; \Leftrightarrow \; \; k = -\frac{7}{3}\\[/math]
e quindi segue che:

[math]s : x + \left(-\frac{7}{3}+2\right)\,y + 1 = 0 \; \; \Rightarrow \; \; s : x - \frac{1}{3}\,y + 1 = 0 \; .\\[/math]

Dulcis in fundo, detto
[math]E(0,\,3)[/math]
il punto di intersezione della retta
[math]s[/math]
con
l'asse delle ordinate (banale), il punto
[math]M[/math]
di intersezione delle diagonali
del rettangolo EFGH lo si determina ponendo a sistema le rette
[math]r[/math]
ed
[math]s[/math]
,
ottenendo
[math]M(-1,\,0)\\[/math]
.
Dato che
[math]M[/math]
deve essere il punto medio della diagonale
[math]EG\\[/math]
, si ha:
[math]\begin{aligned}
& x_M := \frac{x_E + x_G}{2} \; \; \Leftrightarrow \; \; x_G = 2\,x_M - x_E = 2\cdot(-1) - 0 = -2 \; ; \\
& y_M := \frac{y_E + y_G}{2} \; \; \Leftrightarrow \; \; y_G = 2\,y_M - y_E = 2\cdot 0 - 3 = -3 \; ;
\end{aligned}\\[/math]
e quindi anche quest'altro vertice è determinato:
[math]G(-2,\,-3)\\[/math]
.
Infine, dato che le diagonali di un rettangolo si tagliano in quattro segmenti
congruenti, per determinare le coordinate di
[math]F[/math]
è sufficiente imporre che
[math]\small \overline{EM}^2 = \overline{FM}^2[/math]
, sapendo che le coordinate di
[math]F[/math]
sono del tipo
[math]\small (x,\,x+1)[/math]
,
dato che appartiene ad
[math]r\\[/math]
. Quindi, si ha:
[math](-1-0)^2 + (0-3)^2 = (-1-x)^2 + (0-x-1)^2\\[/math]
equazione verificata se e soltanto se
[math]x = -1 \pm \sqrt{5}[/math]
e dato che
[math]F[/math]
sappiamo
appartenere al primo quadrante, si ha
[math]F(-1+\sqrt{5}, \; \sqrt{5})[/math]
.
Di conseguenza, essendo il simmetrico rispetto ad
[math]M[/math]
su
[math]r[/math]
, si ha
[math]H(-1-\sqrt{5}, \; -\sqrt{5})\\[/math]
.
Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
gaiab00
gaiab00 - Erectus - 127 Punti
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Scusa ma non riesco a capire la parte dove poni come coordinate di F x e x+1. Da dove le hai ricavate?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Se
[math]F[/math]
appartiene alla retta
[math]r[/math]
di equazione cartesiana
[math]y = x + 1[/math]
,
allora segue che le sue coordinate sono del tipo
[math](x,\,x+1)[/math]
. :)
gaiab00
gaiab00 - Erectus - 127 Punti
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Perché?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ogni punto del piano cartesiano
[math]x\,y[/math]
ha generiche coordinate
[math](x,\,y)[/math]
.
In particolare, i punti appartenenti alla retta
[math]r[/math]
sappiamo avere ordinata
pari a
[math]y = x+1[/math]
, quindi le loro coordinate sono del tipo
[math](x,\,x+1)\\[/math]
.
Tutto qui. ;)
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