Saphira_Sev
Saphira_Sev - Habilis - 178 Punti
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Potreste spiegarmi come risolvere questo problema di geometria analitica?

" Scrivi le equazioni delle parabole (della forma y=ax^2+bx+4) tangenti all'asse delle ascisse e aventi, nel punto di ascissa 3, la tangente di coefficiente angolare 2.
Determina l'equazione della retta parallela all'asse delle ascisse che forma con le tangenti alle parabole nel loro punto di ascissa x=0 un triangolo di area 32. "

Grazie mille in anticipo :*
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
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Le parabole sono tangenti all'asse delle ascisse y=0:

[math]\left\{\begin{array}{l}
y=ax^2+bx+4\\ y=0 \end{array}\right.
[/math]

[math]ax^2+bx+4=0[/math]

Questa equazione deve avere due radici coincidenti, quindi il suo discriminante deve essere 0:
[math]b^2-16a=0[/math]

Chiamiamo A il punto della parabola di ascissa 3, le sue coordinate sono :
[math]A=(3,9a+3b+4)[/math]


Retta passante per A con coefficiente angolare 2:

[math]y=2(x-3)+9a+3b+4[/math]

[math]y=2x+9a+3b-2[/math]

Questa retta deve essere tangente alla parabola. Impostiamo un altro sistema e imponiamo che il discriminante sia 0:

[math]\left\{\begin{array}{l}
y=ax^2+bx+4\\ y=2x+9a+3b-2 \end{array}\right.
[/math]
[math]ax^2+(b-2)x+6-3b-9a=0
[/math]

[math]\Delta=0:[/math]
[math](b-2)^2-4a(6-3b-9a)=0[/math]

[math](b-2)^2-24a+12ab+36a^2=0[/math]

[math](b-2)^2+12a(b-2)+36a^2=0[/math]

[math][(b-2)+6a]^2=0[/math]

[math]b-2+6a=0[/math]

Abbiamo cosi` ricavato due relazioni tra i coefficienti incogniti a e b (le equazioni in rosso); le mettiamo a sistema e risolviamo:

[math]
\left\{\begin{array}{l}
b^2-16a=0 \\
b=2-6a \end{array}\right.[/math]

[math]4-24a+36a^2-16a=0[/math]

[math]36a^2-40a+4=0[/math]

[math]9a^2-10a+1=0[/math]

[math]a=\frac{5\pm\sqrt{25-9}}{9}=\frac{5\pm 4}{9}[/math]

Ci sono due soluzioni:


1)
[math]a=\frac{1}{9}[/math]
, a cui corrisponde
[math]b=2-6a=\frac{4}{3}[/math]
e la parabola:
[math]y=\frac{x^2}{9}+\frac{4}{3}x+4[/math]


2)
[math]a=1[/math]
, a cui corrisponde
[math]b=2-6a=-4[/math]
e la parabola:
[math]y=x^2-4x+4[/math]

Aggiunto 20 minuti più tardi:

Le due parabole hanno il punto B di ascissa 0 (comune ad entrambe):
[math]B=(0,4)[/math]


Una retta generica passante per B e`:
[math]y=mx+4[/math]


Cerchiamo la retta tangente in B alla prima parabola:

[math]\left\{\begin{array}{l}
y=\frac{x^2}{9}+\frac{4}{3}x+4 \\
y=mx+4\end{array}\right.
[/math]

[math]x^2+(12-9m)x=0[/math]

Questa equazione deve avere due soluzioni coincidenti:
[math]12-9m=0[/math]
[math]m=\frac{4}{3}[/math]
.
La prima retta e` r:
[math]y=\frac{4}{3}x+4[/math]


Allo stesso modo cerchiamo la tangente in B alla seconda parabola:


[math]\left\{\begin{array}{l}
y=x^2-4x+4 \\
y=mx+4\end{array}\right.
[/math]

[math]x^2-(m+4)x=0[/math]

Soluzioni coincidenti per:
[math]m=-4[/math]

La seconda retta e` s:
[math]y=-4x+4[/math]


Cerchiamo una retta parallela all'asse delle ascisse:
[math]y=k[/math]
e calcoliamo le sue intersezioni con le rette r e s. Chiamiamo i punti ottenuti C e D


[math]C:~~~\left\{\begin{array}{l}
y=\frac{4}{3}x+4\\
y=k\end{array}\right.~~~~~\Rightarrow~~~~~ C=(\frac{3(k-4)}{4},k)
[/math]



[math]D:~~~\left\{\begin{array}{l}
y=-4x+4\\
y=k\end{array}\right.~~~~~\Rightarrow~~~~~ D=(\frac{4-k}{4},k)
[/math]

I punti CDB devono formare un triangolo di area 32.
La base e`
[math]CD=|\frac{4-k}{4}-\frac{3(k-4)}{4}|=|4-k|[/math]

L'altezza e` la distanza di B dalla retta CD:
[math]H=|4-k|[/math]


Calcoliamo l'area:

[math]32=\frac{1}{2}CD\cdot H=\frac{1}{2}(4-k)^2[/math]

[math](4-k)^2=64[/math]

[math]4-k=\pm 8[/math]

e ci sono due soluzioni:
[math]k=-4[/math]
e
[math]k=12[/math]
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