reddyteddy
reddyteddy - Ominide - 24 Punti
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Per favore aiutatemi... come si risolve questa
cos2x+cos3x+cos4x+cos5x=0

risultato (x={pigreco/2 +kpigreco et x=pigreco/7 + 2/7k pigrego)

mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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Usa Prostaferesi:

[math](\cos 2x+\cos 3x)+(\cos 4x+\cos 5x)=0 [/math]
[math]2\cos\frac{x}{2}\cos\frac{5x}{2}+2\cos\frac{x}{2}\cos\frac{9x}{2}=0 [/math]
[math]2\cos\frac{x}{2}(\cos\frac{5x}{2}+\cos\frac{9x}{2})=0[/math]
[math]2\cos\frac{x}{2}\cdot 2\cos\frac{7x}{2}\cos x=0[/math]

ora si usa la legge di annullamento del prodotto:

[math]\cos x=0~~\Longrightarrow~~ x=\frac{\pi}{2}+k\pi~~(k=0,\pm 1,\dots)
[/math]
[math]\cos \frac{x}{2}=0~~\Longrightarrow~~ x={\pi}+2k\pi
[/math]
[math]\cos \frac{7x}{2}=0~~\Longrightarrow~~ \frac{7x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi~~[/math]
cioe`
[math]x=\frac{\pi}{7}+\frac{2k}{7}\pi=\frac{\pi}{7}(1+2k)[/math]

Nel terzo gruppo di soluzioni e` compreso anche il secondo, infatti:

[math]x=\frac{\pi}{7}(1+2k)[/math]
significa
[math]x=\pm\frac{\pi}{7},\pm\frac{3\pi}{7},\pm\frac{5\pi}{7},\pm\pi,\pm\frac{9\pi}{7},\pm\frac{11\pi}{7},\pm\frac{13\pi}{7},\pm\frac{15\pi}{7},\pm\frac{17\pi}{7},\pm\frac{19\pi}{7},\pm 3\pi,\dots[/math]

Quindi la soluzione finale si puo` scrivere in modo compatto come:

[math]x=\frac{\pi}{7}(1+2k)~~\vee~~ x=\frac{\pi}{2}+k\pi~,~~k\in\mathbb{Z}[/math]

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