pepethefrog
pepethefrog - Ominide - 21 Punti
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Considera la circonferenza di equazione: x^2y^2-4x-2y=0
Dopo aver verificato che i puntiA(0;2) B(0;0) C(3;-1) appartengono alla circonferenza, determina:
a) le equazioni delle rette r,s, t, tangenti alla circonferenza rispettivamente nei punti A,B e C
b) l'area del triangolo individuato dalle rette r, s, t, dopo aver verificato che tale triangolo è rettangolo.
Grazie!!! :hi :hi
isabella14
isabella14 - Habilis - 218 Punti
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Prova a trovarti il centro e il raggio dall'equazione.
mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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Equazione della circonferenza:
[math]x^2+y^2-4x-2y=0[/math]

\
Il centro e` il punto
[math]P=(2,1)[/math]
ed il raggio e`
[math]R=\sqrt{5}[/math]


La tangente alla circonferenza nel punto A si trova scrivendo una generica retta passante per A ed imponendole che sia tangente alla circonferenza data.

Retta generica per A:
[math]y-2=m(x-0)~~~~~\Rightarrow~~~~ y=mx+2[/math]

Per imporre che sia tangente alla circonferenza data ci sono due modi:


1)
[math]\left\{\begin{array}[c]{l}
x^2+y^2-4x-2y=0 \\ y=mx+2\end{array}\right. [/math]

Risolvi l'equazioni e imponi che il discriminante sia nullo (cosi` da avere due soluzioni coincidenti) e trovi
[math]m=2[/math]

La retta r percio` e`
[math]y=2x+2[/math]


2) Calcoli la distanza del centro della circonferenza P dalla retta generica
[math]y=mx+2[/math]
e imponi che tale distanza sia uguale al raggio:
[math]d=\frac{|2m-1+2|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5}[/math]

[math]{|2m+1|}=\sqrt{5}{\sqrt{m^2+1}}[/math]

[math]4m^2+4m+1=5m^2+5[/math]

[math]m^2-4m+4=0~~~~~\Rightarrow~~~~~ m=2[/math]

e quindi r:
[math]y=2x+2[/math]

In modo analogo trovi le rette s e t:

s:
[math]y=-2x[/math]

t:
[math]y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}[/math]

Guardando i coefficienti angolari di s e t si vede che tali rette sono perpendicolari (perche' il prodotto dei coefficienti angolari e` -1).
Quindi il triangolo formato da queste rette e` rettangolo.


Ora basta trovare i punti di intersezione di queste tre rette:

rette r,s:
[math]\left\{\begin{array}[c]{l}
y=2x+2 \\ y=-2x\end{array}\right.~~~\Rightarrow [/math]
punto
[math]D=(-\frac{1}{2},1)[/math]


rette r,t:
[math]\left\{\begin{array}[c]{l}
y=2x+2 \\ y=\frac{x}{2}-\frac{5}{2}\end{array}\right.~~~\Rightarrow [/math]
punto
[math]E=(-3,-4)[/math]


rette s,t:
[math]\left\{\begin{array}[c]{l}
y=-2x \\ y=\frac{x}{2}-\frac{5}{2}\end{array}\right.~~~\Rightarrow [/math]
punto
[math]F=(1,-2)[/math]


Il triangolo DEF e` rettangolo in F, per calcolare la sua area calcoliamo i due cateti:

[math]DF=\frac{3}{2}\sqrt{5}[/math]
,
[math]EF={2}\sqrt{5}[/math]

Area:
[math]S=\frac{15}{2}[/math]
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